Um fio espesso é constituído por um cilindro condutor infinito de seção transversal circular de raio R . Nesse cilindro, passa uma densidade de corrente uniforme e estacionária dada por   J → = J   z ^ , onde   z ^ é o unitário da direção paralela ao eixo do cilindro. Nessa situação, o que se pode dizer a respeito do campo magnético produzido por esse fio?

  1. O campo magnético é nulo em qualquer ponto sobre o eixo do fio
  2. O campo magnético é paralelo ao eixo do fio em qualquer ponto no interior do mesmo
  3. O campo magnético é uniforme no interior no fio
  4. O campo magnético é perpendicular ao eixo do fio e aponta radialmente para fora em qualquer ponto no exterior do mesmo
  5. O módulo do campo magnético cai com o inverso do quadrado da distância ao eixo do fio no exterior do mesmo

Passo 1

Primeiro, vamos discutir como é o campo magnético produzido por uma corrente estacionária e um ponto qualquer gerado por esse fio infinito. Para isso, vamos analisar suas principais características utilizando a lei de Biot-Savart

d B → = μ 0 I 4 π d L → × r ^ r 2

em que I é a corrente que está no sentido de   J → . Os elementos dessa expressão estão representados na figura abaixo. Note, primeiramente, que o campo magnético depende do produto vetorial   d L → × r ^ e que é esse produto vetorial que dá o sentido e direção do campo magnético.

Portanto, como mostra a figura, o campo   d B → é perpendicular tanto à   r ^ , quanto à   d L → . Ou seja, o campo magnético é perpendicular ao plano formado pelos vetores   d L → e r ^ , o que mostramos na figura como o plano delimitado pela linhas tracejadas na cor laranja.

Por isso, o campo magnético é tangencial à circunferência e não tem componente radial, ou seja, na direção de   r ^ . Resumo:

  1. d B → é perpendicular a   d L → e a  r ^ e, portanto, perpendicular ao plano formado por esses dois vetores;
  2. d B → é tangencial ao círculo e, por isso, não tem nenhuma componente na direção de   r ^ ;

Com essas observações a partir da lei de Biot-Savart, já conseguimos eliminar os itens (b) e (d) da questão, que estão INCORRETOS.

Sugestão: reveja essas características, pois elas são gerais e tendem a serem cobradas com frequência.

Passo 2

Bom, agora, o segundo passo é saber como é o módulo de   B → , já que apenas analisamos sua direção e o sentido.

Para ver como fica o módulo, utilizaremos a lei de Ampère para os círculos tracejados da figura, um para r < R e o outro para r > R .

Região r < R :

Como a densidade de corrente é uniforme dentro do cilindro ( r < R ), a corrente i r que passa na área π r 2 é dada por

i r = J π r 2

Beleza? O campo magnético não pode ter nenhuma componente na direção de   r ^ (veja o Passo 1 acima!) e é sempre paralelo ao elemento d l → tangente à curva fechada tracejada (não confunda este elemento com aquele   d L → ! CUIDADO! Dá uma olhada na figura para ver que são diferentes).

Além disso, o campo tem o mesmo valor para todos os pontos em cima da circunferência e, por isso, podemos escrever que

∮ B → . d l → = B ( r < R ) . 2 π r = μ 0 i r ⇒   B ( r < R ) = μ 0 J r 2

Portanto, o campo magnético varia linearmente com a distância r perpendicular ao fio. Isso nos mostra que o campo dentro do fio não é uniforme. Isso nos permite também concluir que para r = 0 (isto é, exatamente em cima do eixo do cilindro), temos

B r = 0 = 0

O item c, por essa razão, está INCORRETO, enquanto o item a está CORRETO.

Passo 3

Região r > R :

Nessa região, a corrente no interior da área delimitada pelo círculo tracejado da figura é

i r = J π R 2

uma vez que toda a corrente está atravessando a área delimitada pelo círculo em questão. Isso nos dá, pela lei de Ampère, que

B . 2 π r = μ 0 J π R 2 ⇒ B = μ 0 J R 2 2 r

que varia com o inverso da distância r ao eixo do fio no seu exterior.

Isso torna o item e) INCORRETO.

Resposta

Portanto, a resposta correta é a letra a) .

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