Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Passo 1

Beleza, vamos analisar isso com calma.

Queremos o ponto sobre a parábola y = 2 x 2 que esteja o mais próximo possível do ponto 4 , 5 4 . Ou seja, queremos minimizar a função distância entre dois pontos, sendo que um dos pontos é o ponto 4 , 5 4 e o outro ponto é um ponto que tem que estar na parábola.

Assim, queremos minimizar a função distância entre dois pontos, sujeita a restrição da parábola.

E qual é a função distância?

É essa aqui:

d x , y = x - 4 2 + y - 5 4 2

Tá, mas antes de passarmos para o próximo passo, uma dica pra facilitar a nossa vida:

Minimizar a função distância e minimizar a função distância ao quadrado dá no mesmo. Só que com a diferença de que a função distância ao quadrado não tem essa raiz quadrada aí, o que facilita nossa vida na hora de calcular as derivadas parciais.

Então vamos usar essa função aqui:

D x , y = x - 4 2 + y - 5 4 2

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Passo 2

Agora sim.

Vamos calcular as derivadas parciais da função D ( x , y ) :

∂ D ∂ x = 2 x - 4 . 1 = 2 x - 8

∂ D ∂ y = 2 y - 5 4 . 1 = 2 y - 5 2

Assim:

∇ D ( x , y ) = 2 x - 8 ,   2 y - 5 2

Passo 3

Agora, jogando tudo para o lado esquerdo na equação da restrição e chamando de g ( x , y ) :

g x , y = y - 2 x 2

E calculando seu gradiente:

∇ g ( x , y ) = - 4 x ,   1

Passo 4

Utilizando o multiplicador de Lagrange:

∇ D = λ ∇ g

⇒ 2 x - 8 ,   2 y - 5 2 = λ - 4 x ,   1

Igualando as coordenadas e adicionando a equação da restrição, ficamos com o sistema:

2 x - 8 = - 4 x λ   2 y - 5 2 = λ   y = 2 x 2

Passo 5

Substituindo a terceira equação na segunda:

2 2 x 2 - 5 2 = λ

4 x 2 - 5 2 = λ

Agora substituindo isso na primeira equação:

2 x - 8 = - 4 x 4 x 2 - 5 2

2 x - 8 = - 16 x 3 + 10 x

16 x 3 - 8 x - 8 = 0

Beleza, chegamos numa equação de terceiro grau.

Como resolver essa bagaça?

Então, é agora que eu vou te dar um bizu bolado!

Se você reparar, temos um 16 positivo multiplicando o x 3 , e um - 8 , que aparece duas vezes, uma multiplicando o x e outra sendo subtraído da equação toda.

Ora, mas se a gente subtrair duas vezes 8 de 16, não teremos exatamente zero, tal como diz essa equação do terceiro grau aí?

Pois é, pra isso, só precisamos que nosso x seja igual a 1.

Então, se x = 1 é uma solução,

y = 2 x 2 = 2.1 2 = 2

Assim, nosso ponto é

P = ( 1,2 )

Beleza, mais um detalhe. Para acharmos as outras raízes, precisamos dividir a equação   16 x 3 - 8 x - 8 = 0 por x - 1 . Fazendo isso, por Briot-Ruffini, encontramos:

2 x 2 + 2 x + 1 = 0

Que não tem raízes reais. Por isso ficamos só com um ponto mesmo.

Resposta

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