Passo 1

Beleza, vamos analisar isso com calma.

Queremos o ponto sobre a parábola y = 2 x 2 que esteja o mais próximo possível do ponto 4 , 5 4 . Ou seja, queremos minimizar a função distância entre dois pontos, sendo que um dos pontos é o ponto 4 , 5 4 e o outro ponto é um ponto que tem que estar na parábola.

Assim, queremos minimizar a função distância entre dois pontos, sujeita a restrição da parábola.

E qual é a função distância?

É essa aqui:

d x , y = x - 4 2 + y - 5 4 2

Tá, mas antes de passarmos para o próximo passo, uma dica pra facilitar a nossa vida:

Minimizar a função distância e minimizar a função distância ao quadrado dá no mesmo. Só que com a diferença de que a função distância ao quadrado não tem essa raiz quadrada aí, o que facilita nossa vida na hora de calcular as derivadas parciais.

Então vamos usar essa função aqui:

D x , y = x - 4 2 + y - 5 4 2

Passo 2

Agora sim.

Vamos calcular as derivadas parciais da função D ( x , y ) :

∂ D ∂ x = 2 x - 4 . 1 = 2 x - 8

∂ D ∂ y = 2 y - 5 4 . 1 = 2 y - 5 2

Assim:

∇ D ( x , y ) = 2 x - 8 ,   2 y - 5 2

Passo 3

Agora, jogando tudo para o lado esquerdo na equação da restrição e chamando de g ( x , y ) :

g x , y = y - 2 x 2

E calculando seu gradiente:

∇ g ( x , y ) = - 4 x ,   1

Passo 4

Utilizando o multiplicador de Lagrange:

∇ D = λ ∇ g

⇒ 2 x - 8 ,   2 y - 5 2 = λ - 4 x ,   1

Igualando as coordenadas e adicionando a equação da restrição, ficamos com o sistema:

2 x - 8 = - 4 x λ   2 y - 5 2 = λ   y = 2 x 2

Passo 5

Substituindo a terceira equação na segunda:

2 2 x 2 - 5 2 = λ

4 x 2 - 5 2 = λ

Agora substituindo isso na primeira equação:

2 x - 8 = - 4 x 4 x 2 - 5 2

2 x - 8 = - 16 x 3 + 10 x

16 x 3 - 8 x - 8 = 0

Beleza, chegamos numa equação de terceiro grau.

Como resolver essa bagaça?

Então, é agora que eu vou te dar um bizu bolado!

Se você reparar, temos um 16 positivo multiplicando o x 3 , e um - 8 , que aparece duas vezes, uma multiplicando o x e outra sendo subtraído da equação toda.

Ora, mas se a gente subtrair duas vezes 8 de 16, não teremos exatamente zero, tal como diz essa equação do terceiro grau aí?

Pois é, pra isso, só precisamos que nosso x seja igual a 1.

Então, se x = 1 é uma solução,

y = 2 x 2 = 2.1 2 = 2

Assim, nosso ponto é

P = ( 1,2 )

Beleza, mais um detalhe. Para acharmos as outras raízes, precisamos dividir a equação   16 x 3 - 8 x - 8 = 0 por x - 1 . Fazendo isso, por Briot-Ruffini, encontramos:

2 x 2 + 2 x + 1 = 0

Que não tem raízes reais. Por isso ficamos só com um ponto mesmo.

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x 1 ,x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 =
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =