Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Passo 1

Temos que modelar o problema numa linguagem matemática.

Digamos que as dimensões da caixa são x ,   y e z . Então o volume da caixa é V = x y z = α   c m 3 .

Agora vamos analisar a quantidade de madeira para a construção da caixa.

Ela depende das dimensões x , y e z da caixa, então vamos chamá-lo de Q ( x , y , z ) .

Essa quantidade é a soma das áreas das faces laterais da caixa.

Assim, sendo as faces retangulares, a quantidade de material será

Q x , y , z = 2 x y + 2 x z + y z

A primeira parcela é referente a duas faces laterais, a segunda, as outras duas e a terceira, ao fundo da caixa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Recapitulando, queremos o mínimo de Q x , y , z = 2 x y + 2 x z + y z

Com a restrição x y z = α .

Ou sejeee, Lagrange neles!

Vamos criar a função F x , y , z = x y z - α assim temos

x y z = α   ⇔   F x , y , z = 0

Então agora é só calcular os gradientes de Q e F :

∇ Q x , y , z = 2 y + 2 z ,   2 x + z ,   2 x + y

e

∇ F x , y , z = ( y z ,   x z ,   x y )

Passo 3

Show! Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, temos

∇ Q ( x , y ) = λ ∇ F ( x , y )

Acrescentando a condição F x , y , z = 0 , obtemos o sistema

2 y + 2 z = λ y z   2 x + z = λ x z 2 x + y = λ x y x y z - α = 0

Multiplicando a 1ª equação por x , a 2ª por y e a 3ª por z , obtemos:

2 x y + 2 x z = λ x y z 2 x y + y z = λ x y z 2 x z + y z = λ x y z x y z - α = 0

Logo:

2 x y + 2 x z = 2 x y + y z = 2 x z + y z

Passo 4

Vamos separar essa equação em duas:

2 x y + 2 x z = 2 x y + y z ⇒ 2 x z = y z 1 2 x y + y z = 2 x z + y z ⇒ 2 x y = 2 x z 2

Não podemos ter dimensões negativas e o volume não é nulo então x > 0 , y > 0 e z > 0 . Considerando isso, pelas equação ( 1 ) temos:

2 x = y   ⇒ y = 2 x

E a equação ( 2 ) nos dá:

2 y = 2 z   ⇒     z = y = 2 x

Passo 5

Ótimo! Então usando a restrição x y z - α = 0 obtemos

x ∙ 2 x ∙ 2 x = α

⇒ 4 x 3 = α

⇒   x 3 = α 4

⇒   x = α 4 3

Então para y e z temos:

y = 2 α 4 3 = 2 α 3

z = 2 α 3

Só achamos uma solução: x , y , z = α 4 3 , 2 α 3 ,   2 α 3 . Então esse é o ponto que minimiza a quantidade de material para a construção da caixa.

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas