Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

PUC-RJ, Cálculo a Várias Variáveis I, P3 2016.1, questão 2

Considere a função

h x , y = 4 x + 4 y

Considere o conjunto

K = x , y ∈ R 2     x 4 + y 4 ≤ 2 }  

Calcule o valor máximo e o valor mínimo de h restrita a K .

Passo 1

Calcular valor máximo e mínimo de uma função com uma restrição? Hummm, isso só pode ser multiplicadores de lagrange com uma restrição. Vamos lá então.

Maaaaaas, não podemos aplicar direto Lagrange, pois temos uma restrição com “ ”, e não “ = ”. Então vamos começar achando os pontos críticos da função.

O gradiente de h é:

∇ h x , y = 4,4

Igualando a zero:

4,4 = 0 ,   0

Opa, peraí! h x x , y = h y x , y = 4 ≠ 0 , então essa equação nunca vale! Portanto, h não tem nenhum ponto crítico no interior de K , o que significa que os pontos de máximo e mínimo que procuramos estão na fronteira da região.

Agora sim podemos usar os multiplicadores de Lagrange.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A fronteira da região é definida por:

x 4 + y 4 = 2

Jogando tudo pra esquerda:

x 4 + y 4 - 2 = 0

Chamamos isso de g x , y :

g x , y = x 4 + y 4 - 2

Calculamos o seu gradiente:

∇ g x , y = 4 x 3 , 4 y 3

Passo 3

Perfeito, agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:

4 x 3 , 4 y 3 = λ ( 4,4 )

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

4 x 3 = 4 λ 4 y 3 = 4 λ x 4 + y 4 = 2  

Passo 4

Resolvendo esse sistema, fazemos

λ = 1 x 3   ( x ≠ 0 )

λ = 1 y 3   ( y ≠ 0 )

1 x 3 = 1 y 3

x 3 = y 3

x = y

Substituindo isso na ultima equação:

x 4 + x 4 = 2

2 x 4 = 2

x 4 = 1

x = ± 1

E então, temos dois pontos,

P 1 = 1 ,   1

P 2 = - 1 , - 1

Passo 5

Agora, só precisamos ver os valores que a função assume em cada um deles.

Lembrando que a função é:

h x , y = 4 x + 4 y

Para P 1 = 1 ,   1 , temos:

h 1 ,   1 = 4.1 + 4.1 = 8

Para P 2 = - 1 , - 1 , temos:

h - 1 , - 1 = 4 . - 1 + 4 . - 1 = - 8

Então, h 1,1 = 8 é o valor de máximo de h em K e h - 1 , - 1 = - 8 é o valor mínimo de h em K .

Resposta

h 1,1 = 8 é o valor de máximo de h em K e h - 1 , - 1 = - 8 é o valor mínimo de h em K .

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