Considere a função
Definida na região dos pontos que satisfazem a relação
Então
- O valor mínimo absoluto de em é 0 e o valor máximo absoluto de em é 4. Há uma infinidade de pontos de mínimo e 4 pontos de máximo em .
- O valor mínimo absoluto de em é 0 e o valor máximo absoluto de em é 4. Há um ponto de mínimo e 4 pontos de máximo em .
- O valor mínimo absoluto de em é 0 e o valor máximo absoluto de em é 2. Há um ponto de mínimo e uma infinidade de pontos de máximo em .
- O valor mínimo absoluto de em é 0 e o valor máximo absoluto de em é 4. Há 4 pontos de mínimo e 4 pontos de máximo em .
- Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Verificar se há algum ponto crítico no interior da região :
Calcular gradiente da função:
Passo 2
Encontrar pontos críticos:
Igualando termo a termo:
Logo, o único ponto crítico é .
Substituindo na equação da curva:
Essa desigualdade é verdadeira. Logo, o ponto está no interior da região !
Passo 3
Vamos verificar máximos e mínimos na fronteira da região:
Pegar equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:
Equação da curva:
Passo 4
Definir função sendo o lado esquerdo da equação acima:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Utilizar multiplicador de Lagrange:
Passo 7
Igualar coordenadas e encontrar sistema:
Já podemos tirar dois resultados logo de cara:
Da primeira equação, e
Da segunda equação.
Tirados esses resultados, podemos cortar e dos dois lados de cada uma das duas equações. Assim, ficamos com
Ou seja
Passo 8
Substituindo isso na equação da curva:
Então
Temos, portanto, os pontos
Passo 9
Substituir pontos encontrados para determinar máximo e mínimo:
Substituindo :
Substituindo
Substituindo
Então o valor máximo é . E o valor mínimo é .
E existem 4 pontos de máximos e um ponto de mínimo em .
Resposta
Letra