Denote por P e Q os pontos do cone x ² + y ² = z ² mais próximos do ponto R = 4 ,   2 ,   0 .

Assinale a alternativa correta:

  1. P = 2,1 , 5 ,   Q = ( 2,1 , - 5 )
  2. a s   d e m a i s   e s t ã o   e r r a d a s
  3. P = 1 , 1 , 2 ,   Q = ( 1 , 1 , - 2 )
  4. P = 2,1 , 5 ,   Q = ( - 2,1 , - 5 )
  5. a   d i s t â n c i a   d e   R   a o   c o n e   é   18

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos resolver juntos?

O enunciado deu uma restrição (equação do cone), pediu os pontos de MENOR distância, isso só tem um cheiro: de multiplicadores de Lagrange!

A função a ser minimizada é a função distância (que pode ser o quadrado dela, fica mais fácil!):

d 2 = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

E queremos até o ponto ( 4,2 , 0 ) ! Então ela fica assim:

f x , y , z = d 2 = ( x - 4 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + z 2

E a restrição: o cone

x 2 + y 2 = z 2

Que pode ser escrita assim:

g x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:

∇ f = λ ∇ g

A ideia aqui é calcular os gradientes, substituir na equação ali em cima e resolver o sistema!

Mas vamos fazer os poucos, beleza?

Vamos nessa?

Passo 2

A função a ser minimizada é:

f x , y , z = ( x - 4 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + z 2

E o gradiente é:

∇ f = ( 2 x - 8 ; 2 y - 4 ; 2 z )

E agora a restrição:

g x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

E o gradiente:

∇ g = ( 2 x , 2 y , - 2 z )

E agora substituindo esses vetores na relação dos multiplicadores temos:

2 x - 8 ; 2 y - 4 ; 2 z = λ ( 2 x , 2 y , - 2 z )

E aqui tiramos três equações:

1 : 2 x - 8 = λ 2 x   2 : 2 y - 4 = λ 2 z 3 : 2 z = - 2 z λ

E mais a equação de restrição:

4 : z 2 = x 2 + y 2

Passo 3

Agora vamos tentar resolver para achar quais são os pontos que satisfazem essas equações.

De (3):

λ = - 1

E daí de (1):

2 x - 8 = - 2 x

4 x = 8 ∴ x = 2

E de (2):

2 y - 4 = - 1.2 y

4 y = 4 ∴ y = 1

E por fim de (4):

z 2 = x 2 + y 2

z 2 = 2 2 + 1 2 = 5

z = ± 5

Então os pontos são:

2,1 , 5   e   ( 2,1 , - 5 )

Passo 4

E para achar a distância é só substituir em d :

d 2 = x - 4 2 + y - 2 2 + z 2

d 2 = 2 - 4 2 + 1 - 2 2 + ± 5 2 = 10

d 2 = 10 ∴ d = 10

Com P 2,1 , 5   e   Q ( 2,1 , - 5 )

Assim a resposta correta é a alternativa (a).

Resposta

( a )

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