Denote por x, y, z três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo. Assinale a alternativa correta:

  1. Os números x , y , z são distintos dois a dois
  2. O produto máximo é 10 4 3
  3. x = y = z = 100 3
  4. Todas as demais alternativas estão erradas
  5. x = y = 33   e   z = 34

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

x , y , z ) que a soma deles tem que ser 100. Mas não é só isso, queremos que o produto desses três números seja o MAIOR possível. Sendo assim, queremos achar o máximo do produto de três números, cuja soma dê 100.

Sendo assim, podemos dizer que queremos o maior valor da função produto de três números S = x y z , cuja soma desses números dê 100, isso é como se fosse uma restrição desses números. Pensa assim: se não tivéssemos essa restrição, não existiria maiores três números, pois seriam infinitos.

O teorema dos multiplicadores de Lagrange com uma restrição nos diz que os valores de máximos/mínimos de uma função são tais que satisfazem essa igualdade:

∇ S = λ ∇ g

Ou seja, o gradiente da função é um múltiplo escalar do gradiente da restrição. No nosso caso a função é a função produto e a restrição é que a soma deles tem que ser 100 ( x + y + z = 0 ) .

Nossa função é:

S = x y z

E nossa restrição deve estar no formato g x , y , z = 0 , então na prática é só jogar tudo pro mesmo lado e igualar a zero:

g = x + y + z - 100

Aqui a função S é a soma dos quadrados:

S = x 2 + y 2 + z 2

E g é a restrição da soma que tem que ser 12 :

g = x + y + z - 12

A ideia é calcular o gradiente dessas duas funções, colocar na equação dos multiplicadores. Depois disso, tentar eliminar o maior número de variáveis e substituir na restrição (da soma x + y + z = 100 ).

Mas relaxa, vou fazer passo a passo!

Vamos nessa?

Passo 2

A função produto:

S = x y z

Lembrando que o gradiente de qualquer função é:

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

E o gradiente de S :

∇ S = y z , x z , x y

E a restrição:

g = x + y + z - 100 = 0

E o seu gradiente:

∇ g = ( 1,1 , 1 )

Agora vamos substituir na equação dos multiplicadores:

∇ S = λ ∇ g

y z , x z , x y = λ ( 1,1 , 1 )

Daqui saem três equações:

1 : y z = λ 2 : x z = λ 3 : x y = λ

De (1) e de (2):

y z = x z = λ

Daí temos que:

x = y

E de (2) e (3):

x z = x y = λ

z = y

Então temos que x = y = z !

Beleza?

E substituindo na restrição temos o seguinte:

x + y + z = 100

x + x + x = 100

3 x = 100 ∴ x = 100 3

E daí os outros números são:

y = z = 100 3

E o único ponto que achamos é:

100 3 , 100 3 , 100 3

Passo 3

Agora precisamos analisar se é ponto de máximo!

Vamos para o teste da derivada segunda:

D = S x x S y y - S x y 2

Temos algumas possibilidades:

S e   D > 0   e   S x x > 0 : p o n t o   d e   m í n i m o

S e   D > 0   e   S x x < 0 : p o n t o   d e   m á x i m o

S e   D < 0 : p o n t o   d e   s e l a

S e   D = 0 : n a d a   p o d e   s e r   d i t o

Então precisamos achar as derivadas, substituir no ponto do passo anterior e verificar os sinais.

A função produto deve estar em termos apenas de x e y . Mas temos a restrição que vai nos ajudar nisso!

A função:

S = x y z

E a restrição:

x + y + z = 100 ∴ z = 100 - x - y

E agora vamos substituir em S :

S = x y ( 100 - x - y )

S = 100 x y - x 2 y - y 2 x

Beleza?

Agora as derivadas parciais. Começando em x :

S x = 100 y - 2 x y - y 2

S x x = - 2 y

E em y :

S y = 100 x - 2 x y - x 2

S y y = - 2 x

E a mista:

S x y = 100 - 2 x - 2 y

Agora é só substituir em D :

D = ( - 2 y ) ( - 2 x ) - ( 100 - 2 x - 2 y ) 2

E agora aplicar no ponto crítico que achamos 100 3 , 100 3 , 100 3 :

D 100 3 , 100 3 , 100 3 = 4 100 3 2 - 100 - 200 3 - 200 3 2

D = 40000 9 - 100 - 400 3 2 = 40000 9 - 100 3 2 = 40000 9 - 10000 9 = 30000 9 > 0

E por fim o sinal de S x x aplicado no ponto:

S x x = - 2 y

S x x 100 3 , 100 3 , 100 3 = - 2.100 3 = - 200 3 < 0

Como D > 0 E S x x < 0 o ponto 100 3 , 100 3 , 100 3 é ponto de Máximo.

Beleza?

Passo 4

Agora vamos voltas as afirmativas:

Assinale a alternativa correta:

  1. Os números x , y , z são distintos dois a dois
  2. O produto máximo é 10 4 3
  3. x = y = z = 100 3
  4. Todas as demais alternativas estão erradas
  5. x = y = 33   e   z = 34

A letra correta é a (c). Achamos exatamente o ponto x = y = z = 100 3 . E verificamos que ele é ponto de máximo.

O produto máximo é:

S = 100 3 . 100 3 . 100 3 = 10 6 27

Belezinha?

Espero ter ajudado!

Resposta

c

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