Determine os pontos do cone z 2 = x 2 + y 2 que estão mais próximos do ponto ( 4,2 , 0 )

Passo 1

Olá viventes, tudo tranquilo? Essa questão fala para determinarmos os pontos mais próximos ao ponto ( 4,2 , 0 ) e que pertencem ao cone de equação

z 2 = x 2 + y 2

Quando o problema pede para calcular o ponto mais próximo, na verdade ele quer que a distância seja a menor possível, certo?

Mas ele não só precisa estar mais próximo, como também pertencer ao cone! Isso quer dizer que queremos minimizar a função distância, com o vínculo do cone, ou seja, uma restrição!

Isso nos lembra de MULTIPLICADORES DE LAGRANGE!

Então a ideia aqui é usar a técnica dos multiplicadores de Lagrange para achar quais pontos satisfazem o vínculo! Lembrando que precisamos resolver

∇ → f = λ ∇ → g

Onde f é quem precisamos minimizar e g nosso vínculo! Ambos devem estar no formato f = f ( x , y , z ) , beleza? Bora começar?

Passo 2

A função distância de um ponto é dada por

D 2 = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

E tanto faz calcularmos os pontos críticos usando D ou D 2 , pois eles serão mínimos no mesmo ponto! Então vamos sempre preferir uma função sem a raiz! Facilitar a vida né?

Queremos minimizar a distância até o ponto ( 4,2 , 0 ) , então

D 2 = x - 4 2 + y - 2 2 + z 2

E nossa função f será

f = x - 4 2 + y - 2 2 + z 2

Tranquilo?

Agora precisamos achar nossa função vínculo! Temos que o ponto deve estar no cone

z 2 = x 2 + y 2

Então nossa função g pode ser encontrada passando z 2 lá para o outro lado

g = x 2 + y 2 - z 2

Prontinho! Temos as duas funções!

Passo 3

Nossa missão agora é aplicar o método!

∇ → f = λ ∇ → g

Daí temos que ∇ → f é

f = x - 4 2 + y - 2 2 + z 2

∇ → f = ( 2 x - 8 ,   2 y - 4 ,   2 z )

E ∇ → g :

g = x 2 + y 2 - z 2

∇ → g = ( 2 x , 2 y , - 2 z )

Beleza?

Agora fazendo ∇ → f = λ ∇ → g temos

2 x - 8 ,   2 y - 4 ,   2 z = λ ( 2 x , 2 y , - 2 z )

Aí a gente iguala componente a componente:

2 x - 8 = λ 2 x

2 y - 4 = λ 2 y

2 z = - λ 2 z

Da última equação temos que z = 0   o u   λ = - 1 .

Mas se z = 0 , pela equação z 2 = x 2 + y 2 , teríamos x = y = 0 também. E aí as duas equações de cima não seriam satisfeitas!

λ = - 1 mesmo!

Passo 4

Com o valor de λ na mão, vamos retornar ao nosso sistema e encontrar os pontos! Temos essas três equações:

2 x - 8 = λ 2 x

2 y - 4 = λ 2 y

2 z = - λ 2 z

Da primeira:

2 x - 8 = - 1 2 x → x = 2

Da segunda:

2 y - 4 = - 1 2 y → y = 1

E podemos usar a terceira? Nããão! Já usamos ela! Aqui que entra o vínculo!

Nosso vínculo é o cone:

z 2 = x 2 + y 2

Substituindo temos

z 2 = 2 2 + 1 2

z 2 = 5 → z = ± 5

Sendo assim temos dois pontos

P 1 = 2,1 , 5 ,   P 2 = 2,1 , - 5

Beleza? Esses são nossos pontos críticos sujeitos ao vínculo! Precisamos descobrir se algum deles é mais próximo do ponto ( 4,2 , 0 ) do que o outro, então bora testar na equação para a distância!

estamos quase lá!

Passo 5

A distância até o ponto ( 4,2 , 0 ) é dada pela equação

D 2 = x - 4 2 + y - 2 2 + z 2

Vamos testar os dois pontos que achamos!

Primeiro P 1 = 2,1 , 5 :

D 2 P 1 = 2 - 4 2 + 1 - 2 2 + 5 2 = 10

Agora o segundo ponto P 2 = 2,1 , - 5 :

D 2 P 2 = 2 - 4 2 + 1 - 2 2 + - 5 2 = 10

Os dois forneceram distâncias iguais ao ponto ( 4,2 , 0 ) , então nossa resposta são os dois!

P 1 = 2,1 , 5 ,   P 2 = 2,1 , - 5

Esses são os pontos mais próximos!

Ufa, agora sim acabamos! Vamos para a próxima?

Resposta

P 1 = 2,1 , 5 ,   P 2 = 2,1 , - 5

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
14. Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). 14 )f x 1 ,x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n ; x 1 2 + x 2 2 + …
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =
9. Área de superfície mínima com volume fixo. Encontre as dimensões da lata cilíndrica circular reta fechada de menor área de superfície cujo volume seja .