Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Determine os pontos de máximo e mínimo da função

f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5

Sobre o conjunto compacto

C = x , y ∈ x 2 + y 2 ≤ 16

Passo 1

Queremos encontrar os máximos e mínimos da função no disco

x 2 + y 2 ≤ 16

Isso significa que devemos buscar os canditados tanto dentro do disco, como também na fronteira do disco.

Para achar os canditados dentro, ou seja, em

x 2 + y 2 < 16

Vamos apenas achar os pontos críticos que estão alí dentro e classifica-los normalmente.

Já para achar os canditados na fronteira, ou seja, em

x 2 + y 2 = 16

vamos ter que usar o famoso Lagrange.

Beleza?! Vamos lá então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pelos candidatos dentro do disco.

Achando os pontos críticos:

∇ f x , y = ( 0,0 )

4 x - 4,6 y = ( 0,0 )

4 x - 4 = 0 6 y = 0

Da primeira equação temos que

x = 1

E da segunda,

y = 0

Assim, temos o ponto

P 1 = ( 1,0 )

E temos que verificar se ele está mesmo dentro do disco. Substituindo na equação do disco, vemos que, de fato, está, porque

1 2 + 0 2 < 16

Beleza, então esse é nosso primeiro candidato.

Passo 3

Vamos agora usar o método dos multiplicadores de Lagrange para buscar os candidatos na fronteira do disco, ou seja, no cículo.

Vamos primeiro pegar a equação do círculo, jogar tudo pra esquerda deixando 0 na direita, beleza?

x 2 + y 2 - 1 6 = 0

Agora vamos chamar o lado esquerdo dessa equação de g ( x , y ) :

g x , y = x 2 + y 2 - 1 6

Portanto, vamos ter um problema de máximo e mínimo com a típica restrição “lagrangeana” g x , y = 0 , o que dá na equação:

∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y )

Passo 4

O gradiente da f nós já calculamos, é:

∇ f x , y = 4 x - 4,6 y )

E o da g vai ser:

g x x , y = 2 x + 0 - 0 = 2 x

g y x , y = 0 + 2 y - 0 = 2 y

⇒   ∇ g x , y = ( 2 x , 2 y )

Passo 5

Excelente! Então a equação dos multiplicadores de Lagrange fica:

4 x - 4,6 y = λ ( 2 x , 2 y )

E ainda temos a restrição g x , y = 0 , então nosso sistema vai ficar assim:

4 x - 4 = λ 2 x 1 6 y = λ 2 y 2 x 2 + y 2 = 1 6 3

Da segunda equação temos que

λ = 3

OU

y = 0

NÃO ESQUECE ESSE y = 0 , HEINNNNNNN!

Ficamos então com esses dois casos. E vamos resolver um por um.

Passo 6

Começando por λ = 3 .

Substituindo na primeira equação, encontramos que

x = - 2

Jogando x = - 2 na equação da restrição, achamos que

( - 2 ) 2 + y 2 = 1 6

y = ± 12

Ficamos então com mais dois candidatos:

P 2 = - 2 , 12

P 3 = - 2 , - 12

Passo 7

Agora vamos para o caso y = 0 .

Substituindo isso na equação da restrição, ficamos com

x 2 + 0 2 = 16

x = ± 4

E temos mais dois candidatos:

P 4 = 4,0

P 5 = - 4 , 0

Passo 8

Agora é só pegar todos esses candidatos e substituir na expressão da função pra ver quem da os valores máximos e quem da os valores mínimos:

f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5

f P 1 = f 1,0 = - 7

f P 2 = f - 2 , 12 = 4 7

f P 3 = f - 2 , - 12 = 47

f P 4 = f 4,0 = 11

f P 5 = f - 4,0 = 4 3

Dessa forma, o ponto P 1 é ponto de mínimo e os pontos P 2 e P 3 são os pontos de máximo dentro do compacto C .

Resposta

Mínimo:

P 1 = ( 1,0 )

Máximos:

P 2 = - 2 , 12

P 3 = - 2 , - 12

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas