Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UNICAMP, Cálculo 2, Prof. Rafael Leão e Marcos Jardim, P1 2014.1, 5

Determine o volume do maior paralelepípedo no primeiro octante com três faces nos planos coordenados x y , x z e y z e um vértice no plano x / a + y / b + z / c = 1 , onde a , b , c > 0 .

Passo 1

Bora entender melhor esse problema. A gente tem um paralelepípedo situado no primeiro octante, com três faces nos planos coordenados x y , x z e y z e um vértice no plano x / a + y / b + z / c = 1 , onde a , b , c > 0 .

Isso nos permite pensar o seguinte: Se o vértice que toca o plano x / a + y / b + z / c = 1 , é o ponto P = x , y , z , então o volume do paralelepípedo é V x , y , z = x y z .

Ou seja, temos que maximizar a função:

V x , y , z = x y z

Sujeita a restrição:

x / a + y / b + z / c = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver esse problema vamos usar os multiplicadores de Lagrange pra resolver esse problema. Vamos começar calculando o gradiente de V x , y , z . Temos:

∇ V x , y , z = y z , x z , x y

Passo 3

Ajeitando a restrição, temos:

x a + y b + z c - 1 = 0

G x , y , z = x a + y b + z c - 1

Calculando seu gradiente:

∇ G x , y , z = 1 a , 1 b , 1 c

Passo 4

Logo, temos o sistema de equações:

y z = λ 1 a   1 x z = λ 1 b 2 x y = λ 1 c 3 x a + y b + z c = 1 4  

Passo 5

Caso 1:

Supondo λ ≠ 0

Dividindo a equação 1 pela 2 , temos:

y x = b a

→ y = b a x

Dividindo a equação 1 pela 3 , temos:

z x = c a

→ z = c a x

Substituindo na equação 4 , temos:

x a + x a + x a = 1

3 x a = 1

x = a 3

Logo:

y = b 3

z = c 3

Temos o ponto

P 1 = a 3 , b 3 , c 3

Passo 6

Caso 2:

λ = 0

Da primeira equação:

y z = 0

Temos duas possibilidades:

y = 0 ; z = 0

Caso 2.1:

y = 0

Da equação 2 temos:

x z = 0

Duas possibilidades:

x = 0 ; z = 0

Caso 2.1.1:

x = 0

Substituindo na equação 4:

0 + 0 + z c = 1

z = c

Logo, temos o ponto

P 2 = 0,0 , c

Caso 2.1.2:

z = 0

Substituindo na equação 4:

x a + 0 + 0 + = 1

x = a

Temos o ponto:

P 3 = a , 0,0

Caso 2.2:

z = 0

Da equação 3 , temos:

x y = 0

Duas possibilidades:

x = 0 ; y = 0

Caso 2.2.1:

x = 0

Substituindo na equação 4 , temos:

0 + y b + 0 = 1

y = b

Temos o ponto

P 4 = 0 , b , 0

Caso 2.2.2:

y = 0

Substituindo na equação 4 , temos:

x a + 0 + 0 = 1

x = a

Já tínhamos encontrado esse ponto.

Passo 7

Agora, temos de verificar o valor que a função V x , y , z assume para cada ponto candidato a valor de máximo função. Vamos ter:

V P 1 = a b c 27

V P 2 = 0

V P 3 = 0

V P 4 = 0

Logo, o volume máximo desse paralelepípedo é V a 3 , b 3 , c 3 = a b c 27

Resposta

O volume máximo do paralelepípedo é V a 3 , b 3 , c 3 = a b c 27

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