Foi construída uma caixa com tampa, na forma de um paralelepípedo e com 4   m 3 de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o dobro em relação ao que será utilizado na superfície do fundo. De acordo com sua resolução as dimensões da caixa que minimizam o custo do material são:

a ) x = 1 ; y = - 2 ; z = 7

b ) x = 2 ; y = 2 ; z = 1

c ) x = 3 ; y = 1 ; z = 7

d ) x = 0 ; y = - 3 ; z = - 9

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

O enunciado nos dá uma caixa de volume 4 m 3 , e ele quer calcular as dimensões da caixa que minimizaram o seu custo, fica atento que ele diz que o material que é utilizado no fundo custa duas vezes mais caro que o que é utilizado nas laterais. Para encontrar as dimensões da caixa, vamos lembrar como se calcula o volume de um paralelepípedo (ou caixa Kkkkkk), da seguinte forma

V = x y z = 4           ( 1 )

Se considerarmos uma caixa como a seguinte figura

Vamos considerar que o fundo e a tampa são feitos do mesmo material! Então montar uma equação que determina nosso custo e utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar as dimensões que minimizam os custos. Vou apresentar cada coisa em seu momento para não ficar muito longo! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma equação para nosso custo! Podemos relacionar o custo de cada parte com a área desta parte. Por exemplo, a área do fundo é dada por

A f u n d o = A t a m p a = x y

Tanto o fundo como a tampa estão relacionados a um custo C f u n d o x , y , z = C t a m p a ( x , y , z ) . A área das laterais, no entanto é composta pela área de todos os quatro lados da caixa, temos que

A l a t e r a i s = x z + x z + y z + y z = 2 x z + 2 y z

E como o enunciado nos diz, está relacionado a um custo C l a t e r a i s x , y , z = 2 C f u n d o ( x , y , z ) . Desta forma, nosso custo total é equivalente à dar um peso 2 as áreas laterais e dar um peso 1 para a tampa e fundo, temos então

C x , y , z = x y + x y + 2 2 x z + 2 y z = 2 x y + 4 x z + 4 y z           ( 2 )

Beleza, com isso temos uma expressão que descreve o custo de nossa caixa! Agora vamos relembrar o método dos multiplicadores de Lagrange!

Passo 3

Para minimizar o custo da caixa, podemos utilizar os multiplicadores de Lagrange, construindo a seguinte função

F x , y , z , λ = C x , y , z - λ R x , y , z           ( 3 )

Em que R ( x , y , z ) é uma restrição, em nosso caso dado por

R x , y , z = x y z - 4           ( 4 )

ou seja, uma restrição sobre o volume da caixa. O objetivo do método, é formar um sistema de equações calculando pontos críticos das derivadas parciais, ou seja

F x = ∂ ∂ x F x , y , z , λ = 0

F y = ∂ ∂ y F x , y , z , λ = 0

F z = ∂ ∂ z F x , y , z , λ = 0

F λ = ∂ ∂ λ F x , y , z , λ = 0

Vamos fazer isso então! Vem comigo!

Passo 4

Primeiro, vamos usar a equação (3), junto com a equação (2) e a equação (4), para obter

F x , y , z λ = 2 x y + 4 x z + 4 y z - λ x y z - 4

Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, temos

F x = 2 y + 4 z - λ y z = 0           ( 5 )

F y = 2 x + 4 z - λ x z = 0           ( 6 )

F z = 4 x + 4 y - λ x y = 0           ( 7 )

F λ = - x y z + 4 = 0           ( 8 )

Vamos usar estas quatro equações para achar o valor de λ e então, encontrar o valor de cada uma de nossas variáveis! Vem comigo!

Passo 5

Primeiro vamos analisar a equação (5) e (6), da primeira, temos

2 y + 4 z - λ y z = 0

Se evidenciarmos y e então isolá-lo, temos

y 2 - λ z = - 4 z → y = - 4 z 2 - λ z

Invertendo o sinal no denominador para eliminar o sinal global, ficamos com

y = 4 z λ z - 2

Da equação (6), se fizer o mesmo processo, vai chegar na mesma equação, saca só

2 x + 4 z - λ x z = 0 → x 2 - λ z = - 4 z

E, portanto

x = - 4 z 2 - λ z = 4 z λ z - 2 = y           ( 9 )

O que resulta em x = y . Vamos utilizar este resultado na equação (7) para encontrar z , bora lá!

Passo 6

Temos colocando a equação (9) na equação (7), que

4 x + 4 y - λ x y = 0 → 8 4 z λ z - 2 - λ 4 z λ z - 2 2 = 0

Note que usei que x = y para somar os dois primeiros termos, e pelo mesmo motivo, o último termo fica ao quadrado. Podemos multiplicar os dois lados por λ z - 2 e dividir os dois lados por 4 z , para obter

8 - 4 z λ λ z - 2 = 0

Se multiplicarmos mais uma vez por λ z - 2 , temos

8 λ z - 16 - 4 λ z = 0 → 4 λ z = 16

Isolando z passando 4 λ dividindo, temos

z = 4 λ           ( 10 )

E utilizando (10) na equação (9), temos que

x = y = 4 ( 4 / λ ) λ 4 / λ - 2 = 16 λ 4 - 2 = 8 λ           ( 11 )

Maaaravilha! Agora só falta utilizarmos 10 e ( 11 ) na equação ( 8 ) para acharmos quem é λ e temos tudo que precisamos para saber qual é o nosso ponto! Saca só!

Passo 7

Colocando ( 10 ) e ( 11 ) em ( 8 ) , temos que

x y z = 4 → 8 λ 8 λ 4 λ = 4

Multiplicando as frações, temos

256 λ 3 = 4 → λ 3 = 64

Se tirar a raiz cúbica, temos que

λ = 4           ( 12 )

O que nos resulta da equação 10 e ( 11 ) , que

z = 4 λ = 1

E

x = y = 2

E estas são as dimensões de nossa caixa! Maaaravilha! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F V F F

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
14. Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). 14 )f x 1 ,x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n ; x 1 2 + x 2 2 + …
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =
9. Área de superfície mínima com volume fixo. Encontre as dimensões da lata cilíndrica circular reta fechada de menor área de superfície cujo volume seja .