Seja f x , y = x 3 + y 2 2 - 3 x e seja a curva C = x , y ∈ R 2     x - 3 2 + y 2 = 9 } .

(a) Calcule os valores de máximo e mínimo global de f restrita à curva C .

(b) Determine em qual(is) ponto(s) de C o valor máximo de f é atingido e em qual(is) ponto(s) de C o valor mínimo de f é atingido.

Passo 1

(a) Essa é uma típica questão de Lagrange, basta seguir o passo a passo!

Vamos primeiro definir g x , y = x - 3 2 + y 2 . Buscamos o máximo e o mínimo de f restrita à curva g x , y = 9 . Então, pelo método dos multiplicadores de Lagrange, vamos ter o sistema seguinte:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 9

Passo 2

Beleza, agora vamos achar esses gradientes, calculando as derivadas parciais:

f x , y = x 3 + y 2 2 - 3 x

Logo:

∂ f ∂ x x , y = 3 x 2 + 0 - 3 = 3 x 2 - 3

∂ f ∂ y x , y = 0 + y - 0 = y

Então, o gradiente da f vai ser:

∇ f x , y = ( 3 x 2 - 3 ,   y )

E pra g x , y = x - 3 2 + y 2 vamos ter, pela regra da cadeia:

∂ g ∂ x x , y = 2 x - 3 . 1 + 0 = 2 x - 6

E:

∂ g ∂ y x , y = 0 + 2 y = 2 y

E o gradiente vai dar:

∇ g x , y = ( 2 x - 6 ,   2 y )

Passo 3

Show! Agora vamos montar o nosso sistema com o que achamos:

3 x 2 - 3 ,   y = λ ( 2 x - 6 ,   2 y ) x - 3 2 + y 2 = 9   ⇔   3 x 2 - 3 = λ ( 2 x - 6 ) y = λ 2 y x - 3 2 + y 2 = 9

Da segunda equação, tiramos:

2 λ = 1     o u     y = 0

Bora analisar separadamente os 2 casos:

Passo 4

Se 2 λ = 1 , vamos ter:

λ = 1 2

A primeira equação do sistema vai ficar:

3 x 2 - 3 = 2 x - 6 2 = x - 3

3 x 2 = x

3 x 2 - x = 0

x 3 x - 1 = 0

⇒     x = 0     o u   :   3 x = 1 ⇒ x = 1 3

  • Se x = 0 , pela terceira equação do sistema:
  • 0 - 3 2 + y 2 = 9

    9 + y 2 = 9

    ⇒     y = 0

  • E se x = 1 3 :
  • 1 3 - 3 2 + y 2 = 9

    y 2 = 9 - - 8 3 2 = 81 9 - 64 9 = 17 9

    ⇒     y = ± 17 3

    Portanto, achamos os pontos ( 0,0 ) , ( 1 3 , 17 3 ) e ( 1 3 , - 17 3 ) . Mas isso foi assumindo que 2 λ = 1 lembra? Ainda temos o caso y = 0 . Então partiu!

    Passo 5

    Se y = 0 vamos ter:

    x - 3 2 + 0 = 9

    x - 3 = ± 3

    x = 6     o u     x = 0

    Portanto, achamos os pontos ( 6,0 ) e ( 0,0 ) . Como já tínhamos achado o ponto ( 0,0 ) , vamos guardar só o primeiro.

    Então o ponto ( 6,0 ) também é candidato a ponto de máximo ou mínimo de f em C .

    Passo 6

    Agora basta calcular o valor de f em cada ponto que achamos e achar os valores máximo e mínimo. Lembrando que os nossos candidatos são os pontos:

    0,0   ; ( 1 3 , 17 3 ) ; 1 3 , - 17 3   e   ( 6,0 )

    E que a função f é definida por:

    f x , y = x 3 + y 2 2 - 3 x

  • f 0,0 = 0 + 0 - 0 = 0
  • f 1 3 , 17 3 = f 1 3 , - 17 3 = 1 27 + 17 18 - 1 = 2 + 51 - 54 54 = - 1 54
  • f 6,0 = 216 + 0 - 18 = 198

Portanto, os valores de máximo e mínimo globais de f restrita à curva C , são, respectivamente, 198 e - 1 54 . Já podemos emendar com a resposta da letra (b):

(b) O valor máximo é atingido no ponto ( 6,0 ) e o valor mínimo nos pontos ( 1 3 , 17 3 ) e ( 1 3 , - 17 3 ) .

Resposta

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