Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Seja

f x , y = y 2 - x 2 3

  1. Encontre e classifique os pontos críticos de f
  2. Determine os extremos globais de f em S = x , y ∈ R 2   ; x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 1

As palavrinhas mágicas “determine os pontos críticos e classifique-os” apareceram, então não tem erro!

Vamos ter que achar as derivadas parciais da f , igualá-las a zero e depois mandar brasa no teste da derivada segunda! Então partiu:

f x , y = y 2 - x 2 3

⇒     f x x , y = - 2 x 3

⇒ f y x , y = 2 y 3

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Passo 2

a )

Show! Agora vamos igualar essas derivadas parciais a zero:

f x x , y = 0

⇒ - 2 x 3 = 0

⇒   x = 0

E:

f y x , y = 0

⇒ 2 y 3 = 0

⇒   y = 0

Portanto, f só tem um ponto crítico: o ponto P 0 = ( 0,0 ) .

Passo 3

Vamos usar o teste da derivada segunda pra classificar P 0 . Mas primeiro vamos precisar calcular as derivadas segundas, é claro! Vamos ter:

f x x x , y = - 2 3

f y y x , y = 2 3

E pras derivadas mistas:

f x y x , y = f y x x , y = 0

Observação: as derivadas de segunda ordem são constantes, portanto o determinante do teste da derivada segunda não vai depender do ponto no qual é calculado :)

Passo 4

Agora sim, vamos aplicar o teste da derivada segunda:

H x , y = H P 0 = f x x ( P 0 ) f x y P 0 f y x P 0 f y y ( P 0 ) = - 2 3 0 0 2 3

H P 0 = - 2 , 3 2 3 - 0.0 = - 4 9 < 0

L ogo P 0 é pode ser ponto de sela.

Passo 5

b )

Agora queremos o máximo e o mínimo de f com a restrição x 2 + y 2 ≤ 1

Primeiro você pode reparar que o ponto crítico da f , P 0 = ( 0,0 ) está no interior do conjunto D . Isso significaria que ele seria o nosso primeiro candidato a máximo e mínimo da função.

Maaaaaaas, a gente descobriu na letra a , que o ponto ( 0,0 ) é ponto de sela, ou seja, ele não é ponto de máximo nem de mínimo local, quem dirá global. Então, descartemos esse ponto.

Agora, temos também que buscar os candidatos na fronteira de D , isto é, em

x 2 + y 2 = 1

E, para isso, vamos usar nosso kiridu Lagrange!

Vamos primeiro pegar a equação do círculo, jogar tudo pra esquerda deixando 0 na direita, beleza?

x 2 + y 2 - 1 = 0

Agora vamos chamar o lado esquerdo dessa equação de g ( x , y ) :

g x , y = x 2 + y 2 - 1

Portanto, vamos ter um problema de máximo e mínimo com a típica restrição “lagrangeana” g x , y = 0 , o que dá na equação:

∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y )

Passo 6

O gradiente da f nós já calculamos, é:

∇ f x , y = - 2 x 3 , 2 y 3

E o da g vai ser:

g x x , y = 2 x

g y x , y = 2 y

⇒   ∇ g x , y = ( 2 x , 2 y )

Passo 7

Excelente! Então a equação dos multiplicadores de Lagrange fica:

- 2 x 3 , 2 y 3 = λ ( 2 x , 2 y )

E ainda temos a restrição g x , y = 0 , então nosso sistema vai ficar assim:

- 2 x 3 = λ 2 x 1 2 y 3 = λ 2 y 2 x 2 + y 2 = 1 3

As equações ( 1 ) e ( 2 ) são aquelas famosas equações que a nossa mão coça pra cortar o x e y dos dois lados. Mas, já estamos carecas de saber que não podemos fazer isso sem antes considerar que x = 0 e y = 0 também pode. ser solução.

Beleza, dito isso, cortemos essa bagaça.

Na equação ( 1 ) :

- 2 3 = λ 2

λ = - 2 6 = - 1 3

E, na equação ( 2 ) :

2 3 = λ 2

λ = 2 6 = 1 3

Assim, temos quatro casos:

  • x = 0 (caso 1)
  • y = 0 (caso 2)
  • λ = - 1 3 (caso 3)
  • λ = 1 3 (caso 4)

Passo 8

Caso 1:

Vamos começar estudando o caso x = 0 . Substituindo na equação ( 3 ) , temos:

0 2 + y 2 = 1

y = ± 1

Assim, obtemos 2 pontos candidatos a máximo ou mínimo de f em D : os pontos P 1 = 0,1 e P 2 = 0 , - 1 .

Passo 9

Caso 2:

Vamos agora analisar o caso y = 0 . A equação ( 3 ) fica:

x 2 + 0 2 = 1

x = ± 1

Assim, obtemos mais 2 pontos candidatos a máximo ou mínimo de f em D : os pontos P 3 = 1,0 e P 4 = - 1,0 .

Passo 10

Caso 3:

Vamos analisar o caso λ = - 1 3 . A equação ( 1 ) fica:

- 2 x 3 = - 1 3 2 x

- 2 x 3 = - 2 x 3

Ou seja, não acrescenta nada de novo.

Pra evitar de termos que fazer mais contas a toa, observe que a mesma coisa vai acontecer para o caso 4: quando substituirmos λ = 1 3 na equação ( 2 ) , vamos obter algo obvio e não vai acrescentar nenhum ponto novo.

Passo 11

Portanto, temos 4 candidatos a ponto de máximo e mínimo absolutos de f no disco D :

P 1 = 0,1

P 2 = 0 , - 1

P 3 = ( 1,0 )

P 4 = ( - 1,0 )

Só falta calcular o valor da f em cada um desses pontos e ver qual é o máximo e qual é o mínimo, então vamos lá!

f x , y = y 2 - x 2 3

Vamos calcular o valor de f nos pontos P 1 e P 2 e P 3 e P 4 ao mesmo tempo, porque tanto x quanto y estão elevados ao quadrado na função. Então,

f 0 , ± 1 = ( ± 1 ) 2 - 0 2 3 = 1 3

f ± 1,0 = 0 2 - ( ± 1 ) 2 3 - 1 3

Portanto, os pontos de mínimo de f no conjunto D são P 3 = ( 1,0 ) e P 4 = ( - 1,0 )

(o valor mínimo é - 1 3 ), e os pontos de máximo são P 1 = 0,1 e P 2 = 0 , - 1

(o valor máximo é 1 3 ).

Resposta

a )

f tem um ponto crítico: o ponto de sela ( 0,0 ) .

b )

Os pontos de mínimo de f no conjunto D são P 3 = ( 1,0 ) e P 4 = ( - 1,0 )

(o valor mínimo é - 1 3 ), e os pontos de máximo são P 1 = 0,1 e P 2 = 0 , - 1

(o valor máximo é 1 3 ).

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