Seja f x ,   y = x y .

  1. Encontre e classifique os pontos críticos de f .
  2. Encontre e classifique os pontos extremos globais de f em E = x ,   y ∈ R ; x 2 8 + y 2 32 ≤ 1 .

Passo 1

Item a) se a gente quer averiguar pontos críticos, vamos começar encontrando o vetor gradiente, pois os pontos, serão aqueles que zeram esse vetor, se lembra?

Pois bem, o vetor gradiente é dado por ∇ f x , y = ∂ f ∂ x x , y , ∂ f ∂ y x , y . Calculando essas derivadas parciais...

∂ f ∂ x x , y = y

∂ f ∂ y x , y = x

Ou seja, o vetor gradiente dessa função f é ∇ f x , y = y ,   x . Pra encontrar os pontos que zeram ele, basta igualar esse cara a zero, dessa forma aqui:

y ,   x = ( 0 ,   0 )

Podemos verificar que o único ponto que satisfaz essa condição, é o ponto x = 0 e y = 0 ... a origem, portanto :D

Passo 2

Para verificar que espécie de ponto é esse (se ele é de máximo, mínimo...), vamos ver o teste da segunda derivada... OPA!!! Aqui esse teste tem outro nome, é o teste da matriz Hessiana, aquele teste que envolve as derivadas de segunda ordem, se lembra?

H P 0 = ∂ f 2 ∂ x 2 ∂ f 2 ∂ x ∂ y ∂ f 2 ∂ y ∂ x ∂ f 2 ∂ y 2

Onde esse P 0 é o ponto crítico que queremos testar. Pois bem... agora é só calcular essas derivadas aí ver no que vai dar.

∂ f 2 ∂ x 2 = 0

∂ f 2 ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = 1

∂ f 2 ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = 1

∂ f 2 ∂ y 2 = 0

A Hessiana, portanto, será

H P = 0 1 1 0

Calculando esse determinante

H P = - 1

Note que esse resultado vale para qualquer ponto, em especial para o ponto crítico 0 ,   0 . Como ele está negativo, significa que o ponto é de sela.

Passo 3

Item b) devemos começar esse item notando que a curva dada é uma elipse de cento na origem, pois, recordando, toda elipse com essa característica tem essa cara aqui: x 2 a 2 + y 2 b 2 . No nosso caso, a 2 = 8 e b 2 = 32 . Show?!

Mas a gente não quer avaliar só a elipse, mas também o seu interior e a gente sabe que no interior dessa elipse, o único ponto que poderia ser alguma coisa é a origem, que a gente já viu que não é nada demais. Partiu avaliar em cima da elipse então?

Passo 4

Podemos fazer isso utilizando aqueles multiplicadores de Lagrange, pois se passarmos aquele 1 pro outro lado da equação da elipse...

x 2 8 + y 2 32 = 1             ⇒         x 2 8 + y 2 32 - 1 = 0

Note que essa equação pode ser entendida com uma curva de nível 0 da função g x , y = x 2 8 + y 2 32 - 1 . Que é justamente aquela função g que precisamos para aplicar Lagrange, ou seja

∇ f x , y = λ ∇ g ( x ,   y )

Lembrando que esse λ é uma constante (o multiplicador). Calculando o gradiente da g , teremos

∇ g x ,   y = ∂ g ∂ x x , y , ∂ g ∂ y x , y = x 4 , y 16

e jogando na igualdade de Lagrange acima, vamos obter o seguinte sistema:

∇ f x , y = λ ∇ g ( x ,   y )

y , x = λ x 4 , y 16

y = λ x 4 x = λ y 16

Se dividirmos a função de cima pela de baixo, vamos obter

y x = λ x 4 λ y 16     ⇒     y x = λ x 4 . 16 λ y  

Cortando esses lambdas e passando esses caras dividindo pro outro lado

y 2 = 4 x 2

Ué, mas só temos uma equação? Não, a outra equação é a própria elipse:)

y 2 = 4 x 2 x 2 8 + y 2 32 = 1

Substituindo esse y 2 na de baixo

x 2 8 + 4 x 2 32 = 1         ⇒       x 2 8 + x 2 8 = 1

x 2 = 4         ⇒           x = ± 4  

Quanto ao y

y 2 = 4 x 2     ⇒       y 2 = 16       ⇒         y = ± 4

Logo, os prováveis pontos de máximos e mínimos são: 2 ,   4 ,   2 , - 4 ,   - 2 ,   4   e   - 2 ,   - 4 . Testando na função f x ,   y = x y , vamos ter

f 2 ,   4 = 2 × 4 = 8

f - 2 ,   - 4 = - 2 × - 4 = 8

f - 2 ,   4 = - 8

f 2 ,   - 4 = - 8

Podemos concluir então que 2 ,   4 e ( - 2 ,   - 4 ) são pontos de máximos globais e ( - 2 ,   4 ) e ( 2 ,   - 4 ) são os de mínimo. Prontinho! Encontrados e classificados! :)

Resposta

Item a)

  • 0 ,   0 – Ponto de sela

Item b)

  • ( 2 ,   4 ) e ( - 2 ,   - 4 ) – Pontos de máximos globais.
  • ( - 2 ,   4 ) e ( 2 ,   - 4 ) – Pontos de mínimos globais.

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14. Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). 14 )   f x 1 ,   x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … ...
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,   y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeit...