Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Seja

D = x , y ∈ R 2 x 2 + 2 y = 4 ,   - 2 ≤ x ≤ 2

Seja

f x , y = x 2 + y 2 - y

Com x , y ∈ D .

Encontre os valores de máximos e mínimos globais de f em D .

Passo 1

Vamos usar Lagrange. Primeiro vamos calcular o gradiente de f :

f x , y = x 2 + y 2 - y

∇ f x . y = ( 2 x ,   2 y - 1 )

Agora vamos definir:

g x , y = x 2 + 2 y - 4

∇ g x , y , z = ( 2 x , 2 )

Então, pelo método dos multiplicadores de Lagrange, vamos ter o sistema:

2 x ,   2 y - 1 = λ 2 x , 2 x 2 + 2 y - 4 = 0

Ou seja, o nosso sistema vai ser:

2 x = 2 λ x 2 y - 1 = 2 λ x 2 + 2 y - 4 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Da primeira equação, podemos tirar que

λ = 1

Ou

x = 0

Teremos portanto que avaliar esses dois casos.

Passo 3

Primeiro vamos considerar λ = 1 .

Substituindo na segunda equação:

2 y - 1 = 2 . 1 = 2

y = 3 2

Substituindo esse valor de y na última equação, podemos encontrar o valor de x :

x 2 + 2 . 3 2 - 4 = 0

x = ± 1

Assim, temos os candidatos:

P 1 = 1 , 3 2

P 2 = - 1 , 3 2

Passo 4

Vamos agora testar a segunda situação, que é quando x = 0 .

Substituindo x = 0 na ultima equação, já podemos direto achar o valor de y :

0 2 + 2 y - 4 = 0

y = 2

Assim, temos o ponto

P 3 = 0,2

Passo 5

Até agora, temos portanto, três candidatos a máximo e mínimo da nossa função.

Mas, não podemos esquecer que estamos buscando o máximo e mínimo de f na região D , que inclui não só a restrição a partir da qual definimos g ( x , y ) , mas também

- 2 ≤ x ≤ 2

Assim, precisamos também buscar os pontos em D quando

x = 2

x = - 2

Substituindo x = ± 2 na ultima equação do nosso sistema, temos

( ± 2 ) 2 + 2 y - 4 = 0

y = 0

Assim, temos mais dois candidatos:

P 4 = ( 2,0 )

P 5 = ( - 2,0 )

Passo 6

Agora sim, calculando o valor da função nesses cinco pontos:

f x , y = x 2 + y 2 - y

f 1 , 3 2 = 1 2 + 3 2 2 - 3 2 = 7 4

f - 1 , 3 2 = ( - 1 ) 2 + 3 2 2 - 3 2 = 7 4

f 0,2 = 0 2 + 2 2 - 2 = 2

f 2,0 = 2 2 + 0 2 - 0 = 4

f - 2,0 = ( - 2 ) 2 + 0 2 - 0 = 4

Assim, 7 4 é o valor de mínimo global de f em D e 4 é o valor de máximo global de f em D .

Resposta

Mínimo: 7 4

Máximo: 4

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