Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFRJ, Cálculo 2, PF 2016.1, questão 12

Os valores máximos e mínimos absolutos da função f x , y = x 4 - 2 y 4 restrita ao conjunto D = { x , y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 = 1 } são, respectivamente:

a 1 e 0

b Esta função não possui nem máximo, nem mínimo absolutos em D

c 2 e - 1

d 0 e - 1

e 1 e - 2

Passo 1

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Fazendo as derivadas parciais, vamos ter

∇ f x , y = 4 x 3 ,   - 8 y 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pegar equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da curva:

x 2 + y 2 = 1

⇒ x 2 + y 2 - 1 = 0

Passo 3

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = x 2 + y 2 - 1

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 2 x ,   2 y

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 4 x 3 ,   - 8 y 3 = λ 2 x ,   2 y

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

4 x 3 = λ 2 x   - 8 y 3 = λ 2 y

Passo 7

Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: x 2 + y 2 = 1

4 x 3 = λ 2 x   - 8 y 3 = λ 2 y   x 2 + y 2 = 1

Passo 8

Resolver o sistema

Da primeira equação:

4 x 3 - λ ( 2 x ) = 0

2 x 2 x 2 - λ = 0

Temos dois casos:

  • Caso 1: x = 0
  • Substituindo na terceira equação temos:

    0 2 + y 2 = 1

    y = ± 1

    Então temos os pontos:

    P 0 = 0,1 ; P 1 = 0 , - 1

  • Caso 2: x ≠ 0
  • Isso nos leva a 2 x 2 - λ = 0 , logo:

    λ = 2 x 2

    Substituindo na segunda equação:

    - 8 y 3 = 2 x 2 2 y

    Temos então:

  • Caso 2.1: y ≠ 0
  • A equação fica:

    y 2 =   - x 2 2

    y 2 + x 2 2 = 0

    O que é impossível pois y ≠ 0

  • Caso 2.2: y = 0

Substituindo na terceira equação:

x 2 + 0 2 = 1

Então:

x = ± 1

Temos os pontos:

P 2 = 1,0 ; P 3 = - 1,0

Passo 9

Agora temos que substituir e encontrar os valores da função nesses pontos. Temos:

f 0,1 = 0 4 - 2 1 4 = - 2

f 0 , - 1 = 0 4 - 2 - 1 4 = - 2

f 1,0 = 1 4 - 2 0 4 = 1

f - 1,0 = - 1 4 - 2 0 4 = 1

Portanto os valores máximos e mínimos são respectivamente:

1   ; - 2

Resposta

Letra e

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