Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFRJ, Cálculo 2, PF 2016.1, questão 4

Os valores mínimo e máximo de f x , y = x 2 + 3 y 2 - y no domínio x 2 + y 2 ≤ 1 são, respectivamente:

a - 1 12 e 5

b - 1 12 e 4

c 2 e 7 8

d - 1 12 e 7 8

e - 1 e 4

Passo 1

Primeiro, calculamos o gradiente da f :

∇ f x , y = 2 x ,   6 y - 1

Agora igualamos a zero:

∇ f x , y = 0 ,   0

2 x ,   6 y - 1 = 0 ,   0

Daí tiramos que:

x = 0

y = 1 / 6

Portanto, o único ponto crítico da f é 0 ,   1 / 6 . Verificamos que ele está no interior do disco:

x 2 + y 2 = 1 36 ≤ 1

Então temos o ponto P 0 = ( 0   , 1 / 6 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que ver a fronteira, ou seja, a circunferência de equação x 2 + y 2 = 1 . Jogamos tudo pra esquerda deixando zero do lado direito:

x 2 + y 2 - 1 = 0

Chamamos o lado da esquerda de g x , y :

g x , y = x 2 + y 2 - 1

Calculamos o gradiente dela:

∇ g x , y = 2 x ,   2 y

Montamos a equação dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

2 x ,   6 y - 1 = λ 2 x ,   2 y

Acrescentamos a equação da circunferência no sistema:

2 x = 2 λ x 6 y - 1 = 2 λ y x 2 + y 2 = 1

Agora é só resolver o sistema :)

Dividindo a primeira equação por 2:

x = λ x 6 y - 1 = 2 λ y x 2 + y 2 = 1

Da primeira equação temos:

x - λ x = 0

x 1 - λ = 0

Temos duas possibilidades:

  • Caso 1: x = 0
  • Da terceira equação:

    x 2 + y 2 = 1

    0 2 + y 2 = 1

    Temos então:

    y = ± 1

    Logo temos os pontos:

    P 1 = 0,1 ; P 2 = 0 , - 1

  • Caso 2: λ = 1

Da segunda equação:

6 y - 1 = 2 λ y

6 y - 1 = 2 y → 4 y = 1 → y = 1 / 4

Substituindo na terceira equação:

x 2 + 1 4 2 = 1 → x 2 = 15 16 → x = ± 15 4

Logo temos os pontos:

P 3 = 15 4 , 1 4 ; P 4 = - 15 4 , 1 4

Passo 3

Recapitulando: no interior do disco achamos o ponto crítico P 0 = ( 0   , 1 / 6 ) e em cima da circunferência achamos os pontos P 1 = 0,1 ; P 2 = 0 , - 1 ; P 3 = 15 4 , 1 4 ; P 4 = - 15 4 , 1 4

Pra finalizar, calculamos o valor da função em cada um dos pontos. Lembrando que f x , y = x 2 + 3 y 2 - y :

f 0 , 1 6 = 3 36 - 1 6 = - 1 12

f 0,1 = 2

f 0 , - 1 = 3 - 1 2 - - 1 = 4

f 15 4 , 1 4 = 15 16 + 3 16 - 1 4 = 14 16 = 0 , 875

f - 15 4 , 1 4 = 15 16 + 3 16 - 1 4 = 14 16 = 0 , 875

Pronto! Achamos os extremos de f no disco x 2 + y 2 ≤ 1 .

O valor mínimo é   f 0 , 1 6 = - 1 12 e o valor máximo é f 0 , - 1 = 4

Resposta

Letra b

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