Qual é a área do laço cercado pela curva

r = f θ = sin 3 ⁡ θ

quando 0 ≤ θ ≤ π ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da curva polar definida pela equação r = sin 3 ⁡ θ , quando 0 ≤ θ ≤ π . Pra isso, a gente pode usar a fórmula de área para curvas polares:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Onde [ a ,   b ] é o nosso intervalo [ 0 ,   π ] e r é a nossa curva f ( θ ) . Então, vamos substituir na fórmula da integral e calcular nossa área.

Vamos lá!

Passo 2

Substituindo r = sin 3 ⁡ θ e o intervalo [ 0 ,   π ] na integral de área, temos:

A = ∫ 0 π 1 2 sin 3 ⁡ θ 2 d θ

Elevando ao quadrado:

A = ∫ 0 π 1 2 sin 3 ⁡ θ d θ

Colocando a constante pra fora da integral e escrevendo a potência como um produto, temos:

A = 1 2 ∫ 0 π sin ⁡ θ ∙ sin 2 ⁡ θ d θ

Agora nós podemos usar a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , na forma:

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Substituindo na integral:

A = 1 2 ∫ 0 π sin ⁡ θ ∙ 1 - cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Tá, mas como isso nos ajuda? Repare que agora temos uma função e a derivada dessa função, quando isso acontece nós podemos pensar em usar a integração por substituição. Chamando:

u = cos ⁡ θ

Derivando, temos:

d u = - sin ⁡ θ d θ

Substituindo isso na nossa integral fica:

A = 1 2 ∫ 0 π - 1 - u 2 d u

E ficou mais fácil de integrar, né? Basta usar a regrinha da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ):

A = 1 2 - u + u 3 3 0 π

Mas nós temos que voltar a variável original antes de aplicar os limites de integração. Usando u = cos ⁡ θ que nós definimos lá em cima:

A = 1 2 - cos ⁡ θ + 1 3 cos 3 ⁡ θ 0 π

Agora sim, aplicando os limites de integração:

A = 1 2 - cos ⁡ π + 1 3 cos 3 ⁡ π - - cos ⁡ 0 + 1 3 cos 3 ⁡ 0

A = 1 2 - - 1 + - 1 3 3 + 1 - 1 3 = 1 2 2 - 2 3

Simplificando, temos nossa área:

A = 2 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 2 3

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