Mostre que a área do círculo de raio R é π R 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a área do círculo é igual a π R 2 . Pra isso, vamos usar a equação da circunferência de raio R , x 2 + y 2 = R 2 , que isolando o y fica:

y = ± R 2 - x 2

Se a gente pegar só a raiz positiva e integrar entre os limites horizontais do círculo, que é - R e R , vamos ter a semicircunferência:

Multiplicando por 2 pra pegar a região de cima e de baixo do círculo, vamos ter a área total que é dada pela integral:

A = 2 ∫ - R R R 2 - x 2 d x

Pra resolver essa integral e facilitar nossas contas, podemos usar uma substituição trigonométrica, fazendo x = R sin ⁡ t , de modo que:

d x = R cos ⁡ t   d t

x = - R → - R = R sin ⁡ t → t = - π 2

x = R → R = R sin ⁡ t → t = π 2

Então, substituindo isso na fórmula de área, vamos calcular a integral:

A = 2 ∫ - π / 2 π / 2 R 2 - R sin ⁡ t 2 R cos ⁡ t d t

Vamos lá!

Passo 2

Vamos elevar os termos do radicando ao quadrado:

A = 2 ∫ - π / 2 π / 2 R 2 - R 2 sin 2 ⁡ t   R cos ⁡ t d t

Colocando R 2 em evidência:

A = 2 ∫ - π / 2 π / 2 R 2 ( 1 - sin 2 ⁡ t )   R cos ⁡ t d t

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t = 1 - s in 2 ⁡ t , temos:

A = 2 ∫ - π / 2 π / 2 R 2 cos 2 ⁡ t R cos ⁡ t d t

Tirando a raiz:

A = 2 ∫ - π / 2 π / 2 R cos ⁡ t R cos ⁡ t d t

Multiplicando os termos:

A = 2 ∫ - π / 2 π / 2 R 2 cos 2 ⁡ t d t

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica, fazendo cos 2 ⁡ t = 1 - cos ⁡ 2 t 2 :

A = 2 ∫ - π / 2 π / 2 R 2 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 t d t

Integrando, temos:

A = 2 R 2 1 2 t - 1 4 sin ⁡ 2 t - π / 2 π / 2

Aplicando os limites de integração:

A = 2 R 2 1 2 π 2 - 1 4 sin ⁡ 2 ∙ π 2 - 1 2 - π 2 + 1 4 sin ⁡ 2 ∙ - π 2

A = 2 R 2 π 4 - 1 4 sin ⁡ π + π 4 + 1 4 sin ⁡ - π

Como sin ⁡ π = sin ⁡ ( - π ) = 0 , temos:

A = 2 R 2 π 4 + π 4

A = 2 R 2 2 π 4

Logo, simplificando:

A = π R 2

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = π R 2

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