2. Calcule a área da região do primeiro quadrante limitada pelo eixo dos y , pela reta y = x e pela curva y = 2 x + 1 . Faça um esboço da região, identificando claramente todos os pontos de interseção.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui o que problema nos da dois comandos: calcular a área e esboçar a região.

Então vamos começar desenhando a região, identificando nela os limites de integração e depois integrando para achar a área.

Bora lá!

Passo 2

A região que o problema descreve é limitada pelo eixo y , pela reta y = x e pela curva y = 2 x + 1

Então vamos começar vendo onde as retas y = x e a curva y = 2 x + 1 se cruzam. Vamos fazer isso igualando as duas equações.

x = 2 x + 1

Ajeitando,

x x + 1 = 2

Resolvendo essa igualdade, temos que x = 1 e x = - 2 .

Também é importante vermos onde ela intercepta o eixo y , pois ele é um limitante. Para isso, temos que fazer x = 0 em cada equação.

Para reta y = x , temos

y = 0

Para a curva y = 2 x + 1 , temos

y = 2 0 + 1 = 2

Agora vamos desenhar os seguimentos com todas as interseções. Lembrando que só estamos interessador na região do primeiro quadrante (marcada em laranja).

Agora vamos montar a nossa integral!

Passo 3

Para calcular a área da região que acabamos de encontrar, vamos precisar entender os limites de integração.

No eixo x , ela está sendo limitada entre os pontos x = 0 e x = 1 .

Já no eixo y , ela está sendo limitada entre as equações y = x e y = 2 x + 1 .

Sendo assim, a nossa integral ficará,

∫ 0 1 2 x + 1 - x d x

Logo, nossa área será

A = ∫ 0 1 2 x + 1 - x d x

Vamos agora encontrar a nossa área!

Passo 4

Podemos separar a nossa integral em duas partes,

A = ∫ 0 1 2 x + 1 - x d x = ∫ 0 1 2 x + 1 d x - ∫ 0 1 x d x

Resolvendo o segundo termo, ficamos com

∫ 0 1 x d x = x 2 2 | 1 0 = 1 2 - 0 = 1 2

Agora vamos para o primeiro termo!

Passo 5

Para resolver a integral

∫ 0 1 2 x + 1 d x

Vamos usar uma substituição simples, onde

u = x + 1 → d u = d x

Logo,

∫ 2 x + 1 d x = ∫ 2 u d u

Resolvendo, ficamos com

∫ 2 u d u = 2 ln ⁡ u

Voltando para a nossa integral inicial, teremos

∫ 0 1 2 x + 1 d x = 2 ln ⁡ x | 1 0 = 2 ( ln ⁡ 1 + 1 - ln ⁡ 0 + 1 = 2 ln ⁡ 2

Passo 6

Juntando tudo, ficamos com

A = ∫ 0 1 2 x + 1 - x d x = ∫ 0 1 2 x + 1 d x - ∫ 0 1 x d x

A = ∫ 0 1 2 x + 1 - x d x = 2 ln ⁡ 2 - 1 2

Resposta

A = 2 ln ⁡ 2 - 1 2

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