Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Determine a área da região limitada compreendida entre as curvas y = 4 x 3 - 10 x 2 - 6 x + 1 e y = 2 x 2 + 10 x + 1 .

Passo 1

Show de bola. Pra começarmos uma questão de cálculo de área entre curvas temos que lembrar de uma coisa muito importante: os pontos de interseção entre as curvas nos dão pistas de quais serão os limites de integração! Então a primeira coisa que faremos é achar esses pontos:

y = 4 x 3 - 10 x 2 - 6 x + 1

y = 2 x 2 + 10 x + 1

Igualando, temos:

4 x 3 - 10 x 2 - 6 x + 1 = 2 x 2 + 10 x + 1

4 x 3 - 12 x 2 - 6 x + 1 = 10 x + 1

4 x 3 - 12 x 2 - 16 x + 1 = 1

4 x 3 - 12 x 2 - 16 x = 0

4 x x 2 - 3 x - 4 = 0

Um dos valores de x que satisfaz essa equação já vimos que será x = 0 . Os outros, achamos ao igualar:

x 2 - 3 x - 4 = 0

Beleza, polinômio de segundo grau a gente tira de letra se usarmos o que o tio Bháskara nos ensinou, que no caso é:

x 2 - 3 x - 4 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Vamos ter então:

x 1,2 = 3 ± 9 - 4 ∙ 1 ∙ - 4 2 = 3 ± 9 + 16 2 = 3 ± 25 2 = 3 ± 5 2

x 1,2 = 3 + 5 2 = 8 2 = 4 3 - 5 2 = - 2 2 = - 1

E temos aí já três pontos interessantes pra escolhermos como limites de integração:

x = - 1

x = 0

x = 4

Como x = - 1 é o menor deles e x = 4 é o maior deles, a função vai estar delimitada necessariamente para - 1 < x < 4 . Mas com o x = 0 , conseguimos separar 2 intervalos bacanas onde depois iremos analisar a posição relativa das curvas. São eles:

- 1,0

0,4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza. Analisar a posição relativa das curvas é o mesmo que ver em quais intervalos determinada curva está por cima ou por baixo da outra. Chamando carinhosamente cada uma de

y 1 = 4 x 3 - 10 x 2 - 6 x + 1

y 2 = 2 x 2 + 10 x + 1

O que fizemos no passo anterior foi igualar e jogar pro lado:

y 1 = y 2

y 1 - y 2 = 0

Se chamarmos de f x = y 1 - y 2 essa função de diferença e buscarmos lá de cima a sua expressão, vamos ver que:

f x = 4 x 3 - 12 x 2 - 16 x

f x = 4 x x 2 - 3 x - 4

f x = 4 x x + 1 x - 4

Show de bola! Nota o seguinte galera, se:

  • f x > 0 Curva y 1 acima da y 2
  • f x < 0 Curva y 2 acima da y 1

No primeiro intervalo que vimos no passo 1 , isto é, - 1,0 , podemos testar qualquer valor dentro dele pra ver o sinal de f x . Por exemplo, x = - 1 2 :

f - 1 2 = 4 - 1 2 1 2 + 1 1 2 - 4 = 4,5 > 0

E pro segundo intervalo, 0,4 , podemos testar por exemplo x = 1 :

f - 1 2 = 4 1 1 + 1 1 - 4 = - 24 < 0

Fechamos as posições relativas! Vamos ter que:

  • Em - 1,0 ; Curva y 1 acima da y 2
  • Em 0,4 ; Curva y 2 acima da y 1
  • Passo 3

    E agora sim a gente vai finalizar a questão! Como:

  • Em - 1,0 ; Curva y 1 acima da y 2
  • Em 0,4 ; Curva y 2 acima da y 1

Pra que possamos usar as integrais para calcular a área e o resultado não de negativo, temos que fazer, para cada intervalo:

A = ∫ - 1 0 y 1 - y 2   d x + ∫ 0 4 y 2 - y 1   d x

Mas como:

f x = 4 x 3 - 12 x 2 - 16 x = y 1 - y 2

Vamos ter nas integrais:

A = ∫ - 1 0 f x   d x + ∫ 0 4 - f x   d x

A = ∫ - 1 0 4 x 3 - 12 x 2 - 16 x   d x - ∫ 0 4 4 x 3 - 12 x 2 - 16 x   d x

Resolvendo:

A = x 4 - 4 x 3 - 8 x 2 x = - 1 x = 0 - x 4 - 4 x 3 - 8 x 2 x = 0 x = 4

A = x 4 - 4 x 3 - 8 x 2 x = 0 - x 4 - 4 x 3 - 8 x 2 x = - 1 - x 4 - 4 x 3 - 8 x 2 x = 4 + x 4 - 4 x 3 - 8 x 2 x = 0

Como os termos x 4 - 4 x 3 - 8 x 2 x = 0 são iguais a zero, já que todo o interior do colchete é multiplicado por x , simplificamos para

A = - x 4 - 4 x 3 - 8 x 2 x = - 1 - x 4 - 4 x 3 - 8 x 2 x = 4

Aplicando os valores, temos:

A = - - 1 4 - 4 - 1 3 - 8 - 1 2 - 4 4 - 4 4 3 - 8 4 2

A = - 1 + 4 - 8 - 256 - 256 - 128

A = - - 3 - - 128

A = 3 + 128

A = 131

Resposta

A = 131

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