Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Considere a função f : 0,2 π → I R dada por

f x = e x cos ⁡ x

  1. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f
  2. Determine os intervalos onde o gráfico de f   tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.
  3. Faça um esboço do gráfico de f indicando explicitamente as abscissas dos pontos de máximo, de mínimo e de inflexão.
  4. Sejam a e b as duas raízes da função f no intervalo 0,2 π , a < b , calcule ∫ a b e x cos ⁡ x   d x

Passo 1

Vambora começar essa questão então! Como a primeira coisa que a questão pede são intervalos de crescimento e decrescimento, e a primeira derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente, vamos derivar então:

f ' x = e x cos ⁡ x '

Pela regra do produto:

f ' x = e x ' cos ⁡ x + e x cos ⁡ x '

f ' x = e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x

Se a primeira derivada é negativa, a função decresce. Se positiva, a função cresce. Beleza, então pra gente ver em que ponto que o sinal começa a mudar, tempos que igualar à 0 ! Vamos ter:

f ' x = e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x = 0

e x cos ⁡ x = e x sin ⁡ x

sin ⁡ x = cos ⁡ x

Oras, se essas funções são iguais, então

t g x = 1

Olhando pro círculo trigonométrico:

Então vamos ter:

x = arctan ⁡ 1 = π 4 + 2 π k 5 π 4 + 2 π k ,     s e   k = 0,1 , 2 …

Para k = 0

x = π 4 5 π 4

Para k = 1

x = 9 π 4 13 π 4

Opa, mas peraí. O domínio da função não era 0,2 π ? Então valores de x ≥ 1 , que dão valores de x maiores que 2 π , não rolam! Sendo assim, os pontos em que a primeira derivada zera são só:

x = π 4 5 π 4

Vamos ver então o que acontece com a primeira derivada em intervalos contendo esses pontos, mas dentro do domínio. Esses intervalos vão ser:

0 < x < π 4

π 4 < x < 5 π 4

5 π 4 < x < 2 π

Pro primeiro intervalo, vamos escolher x = π 6 . Vamos ter então:

f ' π 6 = e π 6 cos ⁡ π 6 - sin ⁡ π 6 = e π 6 3 - 1 2 > 0

Pro segundo intervalo, vamos escolher x = π 2 . Vamos ter então:

f ' π 2 = e π 2 cos ⁡ π 2 - sin ⁡ π 2 = - e π 2 < 0

E por fim, pro último intervalo, vamos escolher, por exemplo, x = 3 π 2 . Vamos ter:

f ' π 2 = e 3 π 2 cos ⁡ 3 π 2 - sin ⁡ 3 π 2 = e 3 π 2 > 0

Então fechamos essa parte! Os intervalos de crescimento e decrescimento vão ser:

C r e s c e n t e →           0 < x < π 4 5 π 4 < x < 2 π D e c r e s c e n t e →     π 4   < x < 5 π 4  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, vamos falar agora das concavidades! A análise é quaaaase a mesma. A diferença é que agora vamos precisar da segunda derivada. Então partiu:

f ' ' x = f ' x '

f ' ' x = e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x '

f ' ' x = e x cos ��� x ' - e x sin ⁡ x '

Veja que e x cos ⁡ x ' é a própria f ' x , e logo:

f ' ' x = e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x - e x sin ⁡ x '

E pela regra do produto:

f ' ' x = e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x - e x sin ⁡ x ' + e x ' sin ⁡ x

f ' ' x = e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x - e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x

f ' ' x = e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x - e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x

E por fim, simplificamos para:

f ' ' x = - 2 e x sin ⁡ x

Se a segunda derivada for positiva, a concavidade é pra cima. Se negativa, a concavidade é pra baixo. Beleza, então pra gente ver em que ponto que o sinal começa a mudar, tempos que igualar à 0 ! Vamos ter:

f ' ' x = - 2 e x sin ⁡ x = 0

O que só é possível se:

sin ⁡ x = 0

x = π k   ;                 k = 0,1 , 2 …

E como o domínio é 0,2 π , estão valendo os valores 0,1 , 2 pra k em! As raízes da segunda derivada vão ser então:

x = 0 π 2 π

Os intervalos que contem esses pontos e o domínio são então:

0 < x < π

π < x < 2 π

Pro primeiro intervalo, vamos escolher x = π 2 . Vamos ter então:

f ' ' π 2 = - 2 e π 2 sin ⁡ π 2 = - 2 e π 2 < 0

Pro segundo intervalo, vamos escolher x = 3 π 2 . Vamos ter então:

f ' ' 3 π 2 = - 2 e 3 π 2 sin ⁡ 3 π 2 = 2 e 3 π 2 > 0

Fechamos mais uma letra da questão em! A concavidade vai ser então:

C ô n c a v o   p r a   c i m a →   π   < x < 2 π           C ô n c a v o   p r a   b a i x o →     0   < x < π  

Passo 3

Bora esboçar esse gráfico então. Já temos intervalos que nos falam da concavidade e do crescimento/decrescimento. Só pra completar então, vamos ver interseções com os eixos! Se:

f x = e x cos ⁡ x

Então, se x = 0 , teremos:

f 0 = e 0 cos ⁡ 0 = 1

Ou seja, o ponto 0,1 é um ponto da curva. Agora, seja y = 0 , teremos:

e x cos ⁡ x = 0

O que só é possível se:

cos ⁡ x = 0

Que, pelo círculo trigonométrico, só ocorre se:

x = π 2 + π k   ;             k = 0,1 , 2 …

Beleza, mas como o domínio da função é 0,2 π da função, não é qualquer k que pode não, e sim só os valores 0 e 1 ! Então vamos ter:

x = π 2 3 π 2

Prontinho, achamos os últimos pontos de interseção com os eixos, que vão ser π 2 , 0 e 3 π 2 , 0 . Juntando essas informações com as do passo 1 e 2 , esboçamos:

Passo 4

A última questão pede pra gente calcular uma integral:

∫ a b e x cos ⁡ x   d x

Onde a , b são as raízes de f x . Como a gente viu elas na hora de esboçar o gráfico, é só por a mão na massa agora em! Vamos ter:

a = π 2 b = 3 π 2

Vamos fazer a integral indefinida primeiro. E cara, dá uma olhada na função:

e x cos ⁡ x

Uma exponencial vezes uma trigonométrica? Isso ai tem cheiro de resolução por integração por partes. Quer ver? Seja:

f = cos ⁡ x → d f = - sin ⁡ x d x

d g = e x d x → g = e x

A integração por partes:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f  

E logo:

∫ e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x + ∫ e x sin ⁡ x   d x  

Ok, não adiantou muita coisa por enquanto, porque caímos em outra integral de uma exponencial vezes uma função trigonométrica. Bem, vamos tentar integrar por partes de novo então. Veja só:

f = sin ⁡ x → d f = cos ⁡ x d x

d g = e x d x → g = e x

A integração por partes:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f  

Fica:

∫ e x sin ⁡ x   d x = e x sin ⁡ x - ∫ e x cos ⁡ x d x  

Agora sim vai dar certo, quer ver? Juntando os dois resultados, temos:

∫ e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x - ∫ e x cos ⁡ x d x    

2 ∫ e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x  

∫ e x cos ⁡ x d x = e x 2 cos ⁡ x + sin ⁡ x  

E aplicando os limites de integração, temos:

∫ π 2 3 π 2 e x cos ⁡ x   d x = e x 2 cos ⁡ x + sin ⁡ x x = π 2 x = 3 π 2

∫ π 2 3 π 2 e x cos ⁡ x   d x = e 3 π 2 2 cos ⁡ 3 π 2 + sin ⁡ 3 π 2 - e π 2 2 cos ⁡ π 2 + sin ⁡ π 2

∫ π 2 3 π 2 e x cos ⁡ x   d x = e 3 π 2 2 0 - 1 - e π 2 2 0 + 1

∫ π 2 3 π 2 e x cos ⁡ x   d x = - 1 2 e 3 π 2 + e π 2

Resposta

  1. C r e s c e n t e →           0 < x < π 4 5 π 4 < x < 2 π D e c r e s c e n t e →     π 4   < x < 5 π 4  
  2. C ô n c a v o   p r a   c i m a →   π   < x < 2 π           C ô n c a v o   p r a   b a i x o →     0   < x < π  
  3. ∫ π 2 3 π 2 e x cos ⁡ x   d x = - 1 2 e 3 π 2 + e π 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas