Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

USP, Cálculo 1- P3- 2019.1, questão 11

A área da região delimitada pelas curvas y = e x e y = x e x e as retas x = 0 e x = 5 é igual a:

  1. 2 e - e 3 - 2
  2. 2 e + 2 e 4 - 2
  3. 2 e + 3 e 5 - 2
  4. 2 e + 4 e 6 - 2
  5. e - 2

Passo 1

Vamos ver essa área aqui! Olha o gráfico:

A gente quer a área a região representada no gráfico, mas pra isso a gente precisa saber qual função tá por cima e qual está por baixo.

Bom, vamos olhar no início do gráfico primeiro.

Para a função y = e x , se x = 0 , temos o ponto 0 , e 0 = ( 0,1 ) .

Já para a função y = x e x , se x = 0 , temos o ponto ( 0,0 ) .

Então daqui a gente descobre que a função em azul é y = e x e a função em laranja é y = x e x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver agora onde é a interseção das duas curvas, igualando as duas:

e x = x e x

x = 1

Então, as curvas se encontram no ponto ( 1 , e ) .

Observe que até esse ponto a função y = e x estava por cima e a partir dele a função y = x e x é quem fica por cima.

A gente vai então dividir nossa região, já que queremos a área de x = 0   a   x = 5 .

Passo 3

A área pode ser dividida em:

á r e a 1 0 1 + á r e a 2 1 5

Vamos chamar de A 1     e     A 2 .

A primeira parte da área é dada por:

A 1 = ∫ 0 1 e x - x e x   d x

Integrando, temos:

= ∫ 0 1 e x   d x - ∫ 0 1 x e x   d x

A primeira é imediata:

= e x 0 1 - ∫ 0 1 x e x   d x

A segunda a gente vai usar integração por partes!

Passo 4

A gente quer resolver:

∫ 0 1 x e x   d x

Vamos usar integração por partes, que é assim:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vamos chamar de:

u = x   → d u = d x

d v = e x → v = e x

Então...

∫ x e x   d x = x e x - ∫ e x d x

= x e x - e x

Aí substituindo ali em cima:

= e x 0 1 - x e x - e x 0 1

= e 1 - e 0 - e 1 - e 1 - 0 + e 0

= e - 2

Passo 5

Agora vamos fazer a outra parte da área:

A 2 = ∫ 1 5 x e x - e x   d x

= x e x - e x - e x

= x e x - 2 e x 1 5

= 5 e 5 - 2 e 5 - e + 2 e

= 5 e 5 - 2 e 5 + e

= 3 e 5 + e

Ótimo! Agora falta pouquinho!

Passo 6

Show! Agora só falta somar as duas áreas:

A = A 1 + A 2

= e - 2 + 3 e 5 + e

= 3 e 5 + 2 e - 2

Prontinho! Essa é a área pedida!

Alternativa C! 😊

Resposta

C) 2 e + 3 e 5 - 2

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