Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

d) y = cos ⁡ x , y = cos 2 ⁡ x , x = π 2 e x = π .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de y = cos ⁡ x , y = cos 2 ⁡ x , x = π 2 e x = π , que é essa região aqui em amarelo:

Repare que ela é limitada verticalmente por y = cos ⁡ x (curva em cinza) e y = cos 2 ⁡ x (curva em verde) e horizontalmente por x = π 2 e x = π . Dessa forma, nossa integral de área tem a forma:

A = ∫ a b g x - f x   d x

Onde, nesse caso, g x = cos ⁡ x , f x = cos 2 ⁡ x e a ,   b = π 2 ,   π .

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral de área, temos:

A = ∫ π / 2 π cos 2 ⁡ x - cos ⁡ x   d x

Antes de integrar, vamos reescrever a função cosseno ao quadrado usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ ( 2 x ) 2 pra facilitar nossa vida:

A = ∫ π / 2 π 1 2 + 1 2 cos ⁡ ( 2 x ) - cos ⁡ x   d x

Assim, integrando, vamos obter:

A = 1 2 x + 1 4 sin ⁡ ( 2 x ) - sin ⁡ ( x ) π / 2 π

Aplicando os limites de integração:

A = 1 2 π + 1 4 sin ⁡ ( 2 π ) - sin ⁡ π - 1 2 π 2   - 1 4 sin ⁡ 2 π 2 + sin ⁡ π 2

A = π 2 + 1 4 sin ⁡ ( 2 π ) - sin ⁡ π - π 4   - 1 4 sin ⁡ π + sin ⁡ π 2

Como sin ⁡ π = sin ⁡ ( 2 π ) = 0 e sin ⁡ π 2 = 1 , temos:

A = π 2 - π 4   + 1

A = π 4 + 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = π 4 + 1

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