1) Calcule a área:

b) Da região A = { x ,   y ∈ R 2 ; x ≥ 1 + y 2   e   2 x + y ≤ 2 } .

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês?

Bora lá resolver mais uma questão!!

Nesse exercício, precisamos calcular a área formada por essa informação dada pelo enunciado. A área entre curvas é uma das principais utilizações das integrais, já que quando fazemos operações entre as curvas e integramos em um intervalo definido, encontramos a área formada entre elas.

Ou seja:

∫ a b f y ± g y   d y

Essas funções que apareceram ( f ( y ) e g ( y ) ) serão as nossas curvas em questão. Já o intervalo ( a ,   b ) são os pontos onde as curvas coincidem.

Legal, mas como fazemos isso? Como encontramos essa integral a ser calculada?

Apesar de parecer confusa, essa sentença toda nos fala o seguinte:

A região A está em um plano que pertence ao R 2 , ou seja, em um plano dos números reais tanto para o eixo x quanto para o eixo y . Dentro desse plano, as funções que definem as nossas áreas são x ≥ 1 + y 2 e 2 x + y ≤ 2 .

Aqui temos as informações mais importantes até agora. Nossa área está definida nos valores de x que são maiores ou iguais a 1 + y 2 na primeira função e nos valores de x que são menores ou iguais a 2 - y 2 na segunda função.

Ou seja, temos que calcular uma área entre 2 curvas! Legal, mas como fazemos isso?

A área entre curvas é uma das principais utilizações das integrais, já que quando fazemos operações entre as curvas e integramos em um intervalo definido, encontramos a área formada entre elas.

Ou seja:

∫ a b f y ± g y   d y

Essas funções que apareceram ( f ( y ) e g ( y ) ) serão as nossas curvas em questão. Já o intervalo ( a ,   b ) são os pontos onde as curvas coincidem.

Quando integramos uma função em x , estamos calculando a área embaixo dessa curva no gráfico. Mas cuidado, que aqui a região ta sendo definida em y , então o sinal que aparece antes da função na integral, vai ter a ver com o fato de a curva definir a região pela direita ou pela esquerda. Mas vamos ver isso com calma daqui a pouco!

Sabendo disso, só precisamos descobrir onde essas duas funções assumem valores iguais e, então, teremos qual o intervalo da nossa integração. E precisamos entender melhor essa região pra ver como fica o integrando.

Vamos calcular?

Passo 2

Como vimos no Passo 1, para encontrarmos o intervalo da nossa integração precisamos encontrar os pontos que as funções são iguais.

No nosso caso:

1 + y 2 = 2 - y 2

1 + y 2 = 4 - 4 y + y 2 4

4 + 4 y 2 = 4 - 4 y + y 2

3 y 2 + 4 y = 0

Como temos uma equação do segundo grau, precisamos encontrar as duas raízes. E elas serão:

y 1 = 0

3 y 2 + 4 = 0

y 2 = - 4 3

Legal, definimos o intervalo de integração!

Passo 3

Antes de integrarmos, precisamos checar os gráficos das curvas para encontrarmos a melhor operação possível entre elas. Aqui definiremos se vamos somar ou subtrair as duas curvas na hora da integração.

Colocando as duas curvas em um gráfico vemos que:

A linha vermelha define 1 + y 2 e a linha azul define 2 - y 2 . E queremos a área entre elas! Andando no eixo x de + ∞ para 0 “encostamos” primeiro em 2 - y 2 , portanto essa função será f ( y ) .

A reta azul delimita a região de interesse pela direita. Considerando o sentido do eixo x , calcular a integral dessa função, equivale a calcular a área a sua esquerda. Isso pode ser meio confuso, mas é tipo quando integramos uma função em x e obtemos a área sob a curva. Mas aqui estamos integrando em y , então vamos achar a área à esquerda da curva.

Já pra curva vermelha, a gente quer a área à direita. Então ela vai ser subtraída dentro da integral.

Vamos chamar então:

f ( y ) = 2 - y 2

g ( y ) = 1 + y 2

Colocando na fórmula que vimos no Passo 1, nossa integral fica assim:

∫ a b f y - g y   d y

Substituindo os valores:

∫ - 4 3 0 2 - y 2 - 1 + y 2   d y

Passo 4

Agora que encontramos a integral, só resta calcularmos! Como temos subtração entre os termos, podemos reescrever como:

∫ - 4 3 0 1   d y - 1 2 ∫ - 4 3 0 y   d y - ∫ - 4 3 0 1 + y 2   d y

Integrando:

y - y 2 4 - 1 2 l n l n   y + 1 + y 2   | 0 - 4 3

Aplicando o intervalo:

0 - 0 2 4 - 1 2 [ l n l n   0 + 1 + 0 2 ]   - - 4 3 - - 4 3 2 4 - 1 2 [ l n l n   - 4 3 + 1 + - 4 3 2 ]  

0 - 0 - 0 - - 4 3 - 4 9 - 1 2 l n l n   3  

2 3 - 1 2 l n l n   3     u a

Encontramos a área!

Ufaaa! Terminamos a questão!

Bora lá resolver mais uma então?

Resposta

2 3 - 1 2 l n l n   3     u a

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