Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Calcule a área da região R limitada pela curva de equação 4 y 2 - x y 2 - x 2 = 0 e por sua assíntota, situada À direita do eixo y .

Passo 1

Pra montar uma integral que sirva pra calcular essa área, precisamos entender a região R . E para isso, vamos começar isolando y na equação da curva:

4 y 2 - x y 2 - x 2 = 0

y 2 4 - x = x 2

y 2 = x 2 4 - x

y = ± x 4 - x

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Passo 2

Ok, então a região é limitada pelas curvas y = x 4 - x e y = - x 4 - x e pela tal assíntota.

Essa assíntota está à direita do eixo y , então, pra isso fazer sentido, é uma assíntota vertical. Não dá pra uma assíntota horizontal (ou oblíqua) ficar totalmente à direita de um eixo vertical, né?

E na expressão das nossas curvas temos o termo 4 - x no denominador. Então quando x = 4 , o denominador se anula. Além disso:

lim x → 4 - ⁡ x 4 - x = + ∞ lim x → 4 - ⁡ - x 4 - x = - ∞

Então x = 4 é a famosa assíntota que procuramos

Passo 3

Repare que as curvas y = x 4 - x e y = - x 4 - x se encontram na origem. Então a região R fica entre x = 0 e x = 4 .

Também vamos aproveitar que as duas curvas têm a mesma expressão, mudando apenas o sinal. Isso significa que mesmo sem conhecer a cara das curvas, sabemos que elas são espelhadas em relação ao eixo x .

Passo 4

Resumindo:

  • A região R fica entre x = 0 (ponto de encontro das curvas) e x = 4 (assíntota vertical)
  • As curvas são espelhadas em relação a origem

Nessa hora você vai lá no canto da folha e faz um esboço rápido pra ilustrar isso tudo. Seu esboço deve dar algo parecido com isso:

E graças ao nosso esboço, somos capazes de ver que a área de R é igual a:

A = 2 ∫ 0 4 x 4 - x d x

Passo 5

Agora basta calcular a integral! Vamos começar pela integral indefinida:

∫ x 4 - x d x

Fazendo u = 4 - x , temos que d u = - d x e logo:

∫ x 4 - x d x = -   ∫ 4 - u u d u

= - 4   ∫ 1 u d u +   ∫ u u d u

= - 4   ∫ u - 1 2 d u +   ∫ u 1 2 d u

= - 4 u 1 2 1 2 + u 3 2 3 2 =   - 8 u 1 2 + 2 3 u 3 2

Voltando pra variável x , isso dá:

∫ x 4 - x d x = - 8 4 - x 1 2 + 2 3 4 - x 3 2

∫ x 4 - x d x = - 8 4 - x + 2 3 4 - x 3

Passo 6

Lembrando que a área é igual a:

A = 2 ∫ 0 4 x 4 - x d x

Por causa da descontinuidade na assíntota em x = 4 , pra calcular a área de R vamos ter que tomar o limite:

A = 2 lim t → 4 - ⁡ ∫ 0 t x 4 - x d x

A = 2 lim t → 4 - ⁡ - 8 4 - x + 2 3 4 - x 3 0 t

Calculando então:

A = 2 lim t → 4 - ⁡ - 8 4 - t + 2 3 4 - t 3 - - 8 4 - 0 + 2 3 4 - 0 3

A = 2 lim t → 4 - ⁡ - 8 4 - t + 2 3 4 - t 3 - 2 lim t → 4 - ⁡ - 8 4 + 2 3 4 3

O primeiro limite vamos ver que vai tudo pra 0 , logo:

A = - 2 lim t → 4 - ⁡ - 8 4 + 2 3 64

E o segundo como não depende de t :

A = - 2 - 8 4 + 2 3 64

A = - 2 - 8 . 2 + 2 . 8 3

A = - 2 - 16 + 16 3

A = 32 - 32 3

A = 96 3 - 32 3

Por fim:

A = 64 3

Resposta

A = 64 3

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