Esboce a região delimitada pelas curvas y = x e y = x 3 e calcule o valor numérico de sua área.

Passo 1

Essas curvas são tranquilas de esboçar:

Então a região que ele pediu é a que está ali na meiúca entre as duas:

Olhando mais de perto:

Passo 2

Pela figura podemos ver que as curvas se encontram em x = 0 e x = 1 , e, de fato:

0 = 0 3 = 0

1 = 1 3 = 1

E como a curva y = x está sempre acima da curva y = x 3 , a integral que vai nos dar a área dessa região é:

∫ 0 1 x - x 3 d x

Passo 3

Show, agora é só calcular a integral!

∫ 0 1 x - x 3 d x = ∫ 0 1 x 1 2 - x 3 d x

= x 3 2 3 2 - x 4 4 0 1 = 2 3 x 3 - x 4 4 0 1

= 2 3 - 1 4 - 0 + 0 = 8 12 - 3 12 = 5 12

Pronto, aí está a área! :)

Resposta

5 12

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