Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Esboce as regiões do plano delimitadas pelos gráficos y = x 3 e y = 2 x - x 2 e calcule a área de cada uma dessas regiões.

Passo 1

Cara, para esboçar essa região, a gente precisa esboçar as curvas y = x 3 e y = 2 x - x 2 no mesmo plano, e identificar as regiões que estão entre elas, beleza? E como a gente faz isso?

Essa primeira y = x 3 é uma função simples, que esperam que a gente saiba a carinha já. A cara dela é essa

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Passo 2

E y = 2 x - x 2 é uma parábola virada para baixo. Uma forma de localizá-la é achar 3 pontos que pertencem a ela: podemos tentar achar os pontos onde ela corta os eixos coordenados.

- para x = 0 , y = 0 : ponto 0 , 0

- e para achar as raízes dessa parábola, fazemos

y = 2 x - x 2 = 0 ∴ x 2 - x = 0 ∴ x = 0 ,   x = 2

Até agora temos os pontos 0,0   e   2,0 . Precisamos de mais um. Podemos achar o ponto de máximo dessa parábola. Ele acontece onde y ' - 0 .

y = 2 x - x 2 ∴ y ' = 2 - 2 x = 0 ∴ x = 1

Substituindo em y = 2 x - x 2 , achamos o terceiro ponto 1,1 . Fazendo uma parábola virada para baixo que passa por esses pontos, a gente tem:

Colocando essas duas coisas no mesmo plano, e marcando as regiões entre elas:

Passo 3

E para achar a área entre curvas que são funções de x , a gente precisa montar a fórmulinha:

A = ∫ x 1 x 2 f m a i o r - f m e n o r d x

A f m a i o r representa a função que limita a nossa região por cima, e f m e n o r a função que limita a nossa região por baixo. Mas repara que isso muda da região que está à esquerda do eixo y , (a azul, que vamos achar de A e ) para a que está à direita ( A d , a amarela).

Vamos montar duas integrais então!

Olhando ali no nosso desenho, vemos que quem limita nossa região azul por cima é a y = f m a i o r = x 3 e quem limita por baixo é a função y = f m e n o r = 2 x - x 2 . Aí a gente tem que para esse caso, o nosso integrando fica:

A e = ∫ x 1 x 2 x 3 - 2 x - x 2 d x = ∫ x 1 x 2 x 3 + x 2 - 2 x d x

Já para a região amarela, vemos que quem limita por cima é a y = f m a i o r = 2 x - x 2 e quem limita por baixo é a função y = f m e n o r = x 3 . Aí a gente tem que para esse caso, o nosso integrando fica:

A d = ∫ x 2 x 3 2 x - x 2 - x 3 d x

Passo 4

Falta a gente achar os extremos de integração, que são esses valores de x 1 , x 2 e x 3 . A gente vê no gráfico que isso são as coordenadas x , dos pontos onde há interseção entre as nossas curvas.

A gente tem

y = 2 x - x 2 ,     y = x 3

Igualando essas duas expressões para y :

2 x - x 2 = x 3 ∴ - x 3 + 2 x - x 2 = 0

x - x 2 + 2 - x = 0 ∴     x = 0 ,     - x 2 + 2 - x = 0  

Δ = 1 - 4 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 2 = 1 + 8 = 9

x = 1 ± 3 2 ( - 1 ) ∴ x = - 2 ,   x = 1

Daí a gente tira que:

x 1 = - 2 ,     x 2 = 0 ,     x 3 = 1

E aí as nossas integrais ficam:

A e = ∫ - 2 0 x 3 + x 2 - 2 x d x

Podemos confirmar no gráfico que essa região está no intervalo - 2,0 . E para a região da direita, que ela está no intervalo 0,1 :

A d = ∫ 0 1 2 x - x 2 - x 3 d x

Passo 5

Agora é calcular essas belezuras. Para as duas integrais, a gente vai usar a regrinha de integrar polinômios:

A e = ∫ - 2 0 x 3 + x 2 - 2 x d x = x 4 4 + x 3 3 - 2 x 2 2 - 2 0

A e = 0 - ( - 2 ) 4 4 + - 2 3 3 - 2 ⋅ ( - 2 ) 2 2 = 0 - 4 - 8 3 - 4

A e = 8 3

Vamos para a da direita:

A d = ∫ 0 1 2 x - x 2 - x 3 d x = 2 x 2 2 - x 3 3 - x 4 4 0 1

A d = 2 2 - 1 3 - 1 4 - 0 = 5 12

Resposta

A e = 8 3

A d = 5 12

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