Calcule a área da região interior à elipse de equação x 2 4 + y 2 9 = 1 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a área da seguinte elipse

x 2 4 + y 2 9 = 1

dada por

O cálculo da área pode ser feito utilizando integração dupla como

A = ∫ E ∫ d x d y

Ou seja, é apenas o trabalho de calcular os limites de integração! Vamos procurar uma maneira conveniente de fazer isso! Se isso fosse uma circunferência seria bastante simples utilizar coordenadas polares para resolver o problema, no entanto, para uma elipse primeiro precisamos reescrever o sistema em coordenadas em que ela seja vista como uma circunferência! Lembra como fazer isso? Saca só!

Passo 2

A equação da elipse pode ser escrita como

( x 2 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 1

então se usarmos um sistema de referências em que

u = x / 2 e v = 3

temos que a elipse se torna a seguinte circunferência

u 2 + v 2 = 1

Mas, como mudamos o sistema de coordenadas precisamos encontrar o jacobiano dessa mudança através da definição

aplicando a definição, temos que

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ( 2 ) ( 3 ) - ( 0 ) ( 0 ) = 6

Ou seja, as integrais estão relacionadas por

A = ∫ E ∫ d x d y = 6 ∫ C ∫ d u d v

Como temos agora uma circunferência como região! Podemos calcular a integral usando coordenadas polares diretamente! Bora lá!

Passo 3

Usando que

u = r   c o s ( θ ) e v = r   s e n ( θ )

e o jacobiano em coordenadas polares que é conhecido como

∂ ( u , v ) ∂ ( r , θ ) = r

podemos escrever a integral como

A = 6 ∫ C ∫ d u d v = 6 ∫ P ∫ r d r d θ

Como essa é uma circunferência completa de raio 1 , temos que os limites são

A = 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r d r d θ

Que é uma região retangular (limites constantes), ou seja, podemos integrar em qualquer ordem! Vamos fazer isso!

Passo 4

A integral em r é dada por

∫ 0 1 r d r = 1 2 r 2 | 0 1 = 1 2

e, a integral em θ é

∫ 0 2 π d θ = θ | 0 2 π = 2 π

Juntando os resultados, temos que

A = 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r d r d θ = 6 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = 6 π

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