Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

f) y = x - 1 e x - y = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de y = x - 1 e x - y = 1 , que é essa região aqui em amarelo:

Repare que é mais interessante agora, “varrer” a região primeiro em relação a y , porque ela é limitada horizontalmente por x = y 2 + 1 (curva em roxo) e x = y + 1 (reta em verde). E aí ela passa a ser limitada verticalmente de y = 0 a y = 1 , onde as curvas se interceptam. Então, nossa integral de área tem a forma:

A = ∫ a b g y - f y   d y

Onde, nesse caso, g y = y + 1 , f x = y 2 + 1 e a ,   b = 0 ,   1 .

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral de área, temos:

A = ∫ 0 1 y + 1 - y 2 - 1   d y = ∫ 0 1 ( y - y 2 )   d y

Assim, integrando usando a regrinha da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ), vamos ter:

y 1 + 1 1 + 1   - y 2 + 1 2 + 1 0 1

y 2 2 - y 3 3 0 1

Aplicando os limites de integração:

1 2 2 - 1 3 3 - 0 2 2 + 0 3 3

Simplificando, temos a nossa área:

A = 1 2 - 1 3

A = 1 6

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 1 6

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