Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Considere R a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas y = 8 / x , y = 2 x e y = 8 x .

  1. Esboce a região R .
  2. Calcule a área de R .

Passo 1

Está bem, vamos começar com a letra a . Como o problema falou que a região está no primeiro quadrante, vamos considerar só essa região. Começando com y = 8 / x :

Agora, com y = 8 x , centrado na origem:

Finalmente, traçamos y = 2 x :

Veja que agora temos uma região fechada, ela será a região R .

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Passo 2

Agora vamos integrar a região R , segundo a letra b . De maneira geral, a área será: A = ∫ a c f m a i o r - f m e n o r d x

Só que f m a i o r muda na região. Começa sendo a curva em azul, 8 x , e depois passa a ser 8 / x , em verde. Assim, vamos separar nossa integral em duas:

A = ∫ a b f m a i o r 1 - f m e n o r d x + ∫ b c f m a i o r 2 - f m e n o r d x =

∫ a b 8 x - 2 x d x + ∫ b c 8 x - 2 x d x

Temos que tentar achar os intervalos de integração agora. O a é a origem da região, que está em x = 0 . Logo a = 0 .

b , como definimos na hora de separar a integral, é o ponto em que a curva superior muda, ou seja, na interseção entre 8 x e 8 / x :

8 x = 8 / x ⟹ x = 1 x ⟹ x 2 = 1 ⟹ x = 1 = b

Agora, para c , temos o ponto onde a região termina. Que ocorre na interseção entre 8 / x e 2 x :

8 / x = 2 x ⟹ x = 4 x ⟹ x 2 = 4 ⟹ x = 2

Pronto, já temos tudo que precisa.

Passo 3

Vamos integrar agora:

A = ∫ 0 1 8 x - 2 x d x + ∫ 1 2 8 x - 2 x d x

Para a primeira integral: ∫ 0 1 8 x - 2 x d x = ∫ 0 1 6 x d x = 3 x 2 0 1 = 3

Para a segunda: ∫ 1 2 8 x - 2 x d x = 8 ln ⁡ x - x 2 1 2 = 8 ln ⁡ 2 - 4 - 8 ln ⁡ 1 - 1 = 8 ln ⁡ 2 - 3

Então são:

A = 3 + 8 ln ⁡ 2 - 3 = 8 ln ⁡ 2 u . a .

Resposta

A = 8 ln ⁡ 2 u . a .

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