Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

i) x = y 4 , y = 2 - x e y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de x = y 4 , y = 2 - x e y = 0 , que é essa região aqui em amarelo:

Repare que é mais interessante agora, “varrer” a região primeiro em relação a y , porque ela é limitada horizontalmente por x = y 4 (curva em vermelho) e x = 2 - y 2 (curva em laranja). E aí ela passa a ser limitada verticalmente onde as curvas se interceptam, em y = 1 e pela reta y = 0 , como diz o enunciado. Então, nossa integral de área tem a forma:

A = ∫ a b g y - f y   d y

Onde, nesse caso, g y = 2 - y 2 , f x = y 4 e a ,   b = 0 ,   1 .

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral de área, temos:

A = ∫ 0 1 2 - y 2 - y 4   d y

Assim, integrando usando a regrinha da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ), vamos ter:

2 y 0 + 1 0 + 1 - y 2 + 1 2 + 1   - y 4 + 1 4 + 1   0 1

2 y - y 3 3 - y 5 5 0 1

Aplicando os limites de integração:

2 1 - 1 3 3 - 1 5 5 - 2 0 + 0 3 3 + 0 5 5

2 - 1 3 - 1 5

Simplificando, temos a nossa área:

A = 30 - 5 - 3 15

A = 22 15

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 22 15

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