Em cada item, determine a área da região sombreada.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de y = x , x = y 2 - 2 y e y = 1 , que é a nossa área em azul. Repare que as funções são colocada em relação a y , então vamos ter uma integral de área em relação a y .

Os limites horizontais são definidos pelas duas curvas e os limites verticais vão ser definidos pelas constantes, em y = 1 e no ponto de interseção entre as curvas.

Verificando os limites verticais, vamos ter os limites de integração [ a ,   b ] da região, que vai ser dada pela diferença entre a função g ( x ) que está a direita e a função f ( x ) que está a esquerda, ou seja:

A = ∫ c d g y - f y   d y

Onde, nesse caso, g y = y e f y = y 2 - 2 y .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar descobrindo o ponto onde as curvas se interseptam lá em cima, fazendo:

y = y 2 - 2 y

3 y = y 2

y = 3

Então, os gráficos se tocam em y = 3 . Como o enunciado também definiu a reta y = 1 como um limite vertical, nossos limites estão no intervalo [ 1 ,   3 ] .

Passo 3

Montando nossa integral de área:

A = ∫ c d g y - f y   d y

Com g y = y e f y = y 2 - 2 y , temos:

A = ∫ 1 3 y - y 2 + 2 y   d y

A = ∫ 1 3 3 y - y 2   d y

Usando a regrinha da potência para integrar ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ), vamos obter:

A = 3 y 1 + 1 1 + 1 - y 2 + 1 2 + 1 1 3

A = 3 y 2 2 - y 3 3 1 3

Aplicando os limites de integração:

A = 3 2 3 2 - 3 2 1 2 - 3 3 3 + 1 3 3

A = 27 2 - 3 2 - 9 + 1 3

A = 10 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 10 3

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval