Calcule a área comum aos círculos limitados por x 2 + y 2 = 4 e ( x - 2 ) 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos calcular a área da seguinte região delimitada pelas circunferências

x 2 + y 2 = 4 e ( x - 2 ) 2 + y 2 = 4

A região é tal que

O cálculo da área pode ser feito utilizando integração dupla como

A = ∫ R ∫ d x d y

Ou seja, é apenas o trabalho de calcular os limites de integração! Neste caso será conveniente reescrever o sistema usando coordenadas polares. Saca só!

Passo 2

Em coordenadas polares da forma

x = r   c o s ( θ ) e y = r   s e n ( θ )

com jacobiano dado por

∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = r

temos que a primeira circunferência é descrita simplesmente por

r 2 = 4

e, expandindo o quadrado na segunda circunferência, temos que

r 2 = 4   r   c o s ( θ )

ou simplesmente

r = 4   c o s ( θ )

A interseção entre as duas curvas acontece quando r = 2 . Ou seja, quando

c o s ( θ ) = 1 / 2

Isso é válido para dois ângulo devido a paridade do cosseno, os ângulos são

θ = ± π / 3

Vamos usar essa região para escrever a nossa integral!

Passo 3

A coordenada radial vai de r = 2 (primeira circunferência) até r = 4   c o s ( θ ) , devido a interseção, o ângulo está entre - π / 3 e π / 3 , sendo assim, temos que calcular

A = ∫ R ∫ d x d y = ∫ - π / 3 π / 3 ∫ 2 4   c o s ( θ ) r   d r d θ

Como os limites não são constantes (a região não é retangular) temos que a ordem da integração importa, precisamos integrar primeiro em r pois seus limites dependem de θ , integrando em r , temos que

∫ 2 4   c o s ( θ ) r   d r = 1 2 r 2 | 2 4 c o s ( θ ) = 8   c o s 2 ( θ ) - 2

Ou seja, nos resta resolver

A = 8 ∫ - π / 3 π / 3 c o s 2 ( θ ) d θ - 2 ∫ - π / 3 π / 3 d θ

Vamos fazer isso agora!

Passo 4

Para resolver a primeira integral, vamos usar a relação de meio ângulo para o cosseno, temos que

∫ - π / 3 π / 3 c o s 2 ( θ ) d θ = 1 2 ∫ - π / 3 π / 3 d θ + 1 2 ∫ - π / 3 π / 3 c o s ( 2 θ ) d θ

temos que

∫ - π / 3 π / 3 d θ = θ | - π / 3 π / 3 = 2 π 3

convenientemente esse resultado pode ser usado novamente para calcular a nossa área (então anote ele em algum cantinho), temos também que

∫ - π / 3 π / 3 c o s ( 2 θ ) = 1 2 s e n ( 2 θ ) | - π / 3 π / 3 = s e n ( 2 π / 3 )

em que usei a paridade do seno para escrever este resultado. A área é então dada por

A = 8 π 3 + 4   s e n ( 2 π / 3 ) - 4 π 3

como temos que s e n ( 2 π / 3 ) = 3 / 2 , obtemos finalmente

A = 4 π 3 + 2 3 = 2 3 ( 4 π + 3 3 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = 2 3 ( 4 π + 3 3 )

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