Calcule a área da região compreendida entre as parábolas y 2 = 10 x + 25 e y 2 = - 6 x + 9 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a área da região delimitada pelas parábolas

y 2 = 10 x + 25 e y 2 = - 6 x + 9

que são parábolas “deitadas” da seguinte forma

O cálculo da área pode ser feito utilizando integração dupla como

A = ∫ R ∫ d x d y

Ou seja, é apenas o trabalho de calcular os limites de integração! Neste caso é uma escolha do que integrar primeiro sem precisar de mudanças de coordenadas! Saca só!

Passo 2

Note que temos que a variável x vai da parábola “verde” até a “vermelha”, então, temos que

1 10 ( y 2 - 25 ) < x < - 1 6 ( y 2 - 9 )

a interseção entre as duas parábolas ocorre em

1 10 ( y 2 - 25 ) = - 1 6 ( y 2 - 9 )

de forma que

y = ± 15

A integral se torna então

A = ∫ R ∫ d x d y = ∫ - 15 15 ∫ 1 10 ( y 2 - 25 ) - 1 6 ( y 2 - 9 ) d x d y

Como a região não é retangular, a ordem de integração importa, e devemos resolver primeiro a integral em x , pois seus limites dependem de y ! Bora lá!

Passo 3

Temos que a integral em x é da forma

∫ 1 10 ( y 2 - 25 ) - 1 6 ( y 2 - 9 ) d x = x | 1 10 ( y 2 - 25 ) - 1 6 ( y 2 - 9 ) = - 1 6 ( y 2 - 9 ) - 1 10 ( y 2 - 25 )

simplificando alguns termos temos que

∫ 1 10 ( y 2 - 25 ) - 1 6 ( y 2 - 9 ) d x = 4 ( 1 - y 2 15 )

De forma que a área será dada por

A = ∫ - 15 15 ∫ 1 10 ( y 2 - 25 ) - 1 6 ( y 2 - 9 ) d x d y = 4 ∫ - 15 15 ( 1 - y 2 15 ) d y

ela pode ser separada em duas integrais da forma

A = 4 ∫ - 15 15 d y - 4 15 ∫ - 15 15 y 2 d y

Essas integrais podem ser identificadas como

∫ - 15 15 d y = y | - 15 15 = 2 15

e, analogamente

∫ - 15 15 y 2 d y = 1 3 y 3 | - 15 15 = 2 3 ( 15 ) 3 / 2

E, finalmente, a área pode ser escrita como

A = 8 15 - 8 45 ( 15 ) 3 / 2 = 8 15 - 8 3 15

ou simplesmente

A = 16 3 15

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = 16 3 15

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval