Determine m > 0 para que a área delimitada por y = x 2   ,   y = x 2 2 e a reta y   =   m x seja igual a 4 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos calcular m > 0 para que a área delimitada por y = x 2   ,   y = x 2 2 e a reta y   =   m x seja igual a 4 .

Muita informação, né? Então vamos com calma...

Queremos descobrir a seguinte área:

Onde a reta vermelha é uma reta qualquer y = m x .

Para descobrirmos essa área, temos que calcular as interseções das curvas y = x 2   ,   y = x 2 2 e a reta y   =   m x .

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... vamos descobrir primeiramente o ponto de interseção entre a curva y = x 2 e a reta y = m x . Para isso, devemos igualar as duas equações:

x 2 = m x ∴

x = m

Agora, entre a curva y = x 2 2 e a reta y = m x :

x 2 2 = m x ∴

x = 2 m

Com isso, podemos observar o seguinte gráfico:

Com isso, agora podemos calcular nossa área e descobrir o valor de m !!

Passo 3

Analisando a figura acima, vemos que a nossa área A em amarelo é dada por:

A = ∫ 0 2 m m x d x - ∫ 0 m m x - x 2 d x - ∫ 0 2 m x 2 2 d x

No enunciado, vemos que A = 4 .

Dessa forma, substituindo na expressão e desenvolvendo, temos:

4 = m ∫ 0 2 m x d x - m ∫ 0 m x d x - ∫ 0 m x 2 d x - 1 2 ∫ 0 2 m x 2 d x ∴

4 = m x 2 2 2 m 0 - m x 2 2 - x 3 3 m 0 - x 3 6 2 m 0 ∴

4 = 2 m 3 - m 3 2 - m 3 3 - 8 m 3 6 ∴

2 m 3 - m 3 6 - 8 m 3 6 = 4 ∴

m 3 = 8 ∴

m = 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

m = 2

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