Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Considere a função f x = A cos ⁡ B x + C

  1. Sabendo que a curva acima é o gráfico de f , determine A , B   e   C
  2. Determine todos os valores de x   ∈ 0,3 que satisfazem a equação f x = 1 2
  3. Calcule a área da região R = x , y ∈ I R 2 0 ≤ x ≤ 3 ,     1 2 ≤ y ≤ f x

Passo 1

Vambora começar essa questão então! A questão nos da f x , mas não ela inteira: falta achar A , B , C . Pô, só precisamos então ver informações do gráfico pra achar essas constantes. Dá uma olhada nessa propriedade do cosseno:

- 1 ≤ cos ⁡ B x ≤ 1

Beleza, vamos usar ela, mas antes, vamos dar uma olhada num gráfico de uma função cosseno típica:

Opa! A partir de x = 0 a função decresce, e a nossa cresce! Sendo assim, em f x :

f x = A cos ⁡ B x + C

O fator que multiplica cos ⁡ B x só pode ser negativo! Portanto, A < 0 . Beleza, vamos voltar então pra aquela propriedade do cosseno.

- 1 ≤ cos ⁡ B x ≤ 1

Multiplicando os dois lados por A , temos:

- A ≤ A cos ⁡ B x ≤ A

Como A < 0 , vamos ter que - A > A . Então pra não confundirmos, vamos trocar - A e A de lado:

A ≤ A cos ⁡ B x ≤ - A

Somando C nos dois lados:

C + A ≤ A cos ⁡ B x + C ≤ C - A

C + A ≤ f x ≤ C - A

E veja bem o gráfico:

A função está limitada por - 1 e 5 ! Logo se ambos são verdade:

C + A ≤ f x ≤ C - A

- 1 ≤ f x ≤ 5

Então temos:

C + A = - 1 C - A = 5

Somando as duas equações, temos:

2 C = 4

C = 2

E logo:

A = - 3

Show. Nossa função, por enquanto, tá assim ó:

f x = - 3 cos ⁡ B x + 2

Falta agora só achar o B . Pra isso, vamos dar uma olhada no círculo trigonométrico:

Vendo ele com calma, a gente percebe que cos ⁡ x = 1 acontece quando

x = 0

x = 2 π

Ok, mas e dai? Bem, da uma olhada na nossa função e seu gráfico:

f x = - 3 cos ⁡ B x + 2

Do gráfico do enunciado, temos que:

f 0 = f 3 = - 1

O que só é possível se:

cos ⁡ 0 = cos ⁡ 3 B = 1

Opa, mas já sabemos em quais arcos o cosseno dá 1 ! São os arcos 0 e 2 π (quaisquer outros arcos são côngruos). Sendo assim:

cos ⁡ 0 = cos ⁡ 2 π = 1

E igualamos o interior dos cossenos:

0 = 0

3 B = 2 π

Show, encontramos B ! Ele vai ser:

B = 2 π 3

A função enfim ficará:

A = - 3 B = 2 π 3 C = 2 f x = - 3 cos ⁡ 2 π 3 x + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A próxima letra pede pra determinar todos os valores de x   ∈ 0,3 que satisfazem a equação f x = 1 2 . Agora que temos a f x completa, fica mais tranquilo. Vamos ter:

f x = - 3 cos ⁡ 2 π 3 x + 2 = 1 2

Multiplicando os dois lados por 2

- 6 cos ⁡ 2 π 3 x + 4 = 1

- 6 cos ⁡ 2 π 3 x = - 3

cos ⁡ 2 π 3 x = 1 2

Fazendo a função trigonométrica inversa:

2 π 3 x = arccos ⁡ 1 2

x = 3 2 π arccos ⁡ 1 2

Falta agora a gente ver qual arco tem cosseno 1 2 . Orá, um deles é o arco de 60 º   ou π 3 em radianos. O outro é o arco de 300 º ou 5 π 3 em radianos. Mas bem, a função cosseno é uma função oscilatória, certo? Então vamos de novo olhar o círculo trigonométrico:

Olhando com cuidado, vemos que:

cos ⁡ π 3 + 2 π k = 1 2 ,     s e   k = 0,1 , 2 …  

cos ⁡ 5 π 3 + 2 π k = 1 2 ,     s e   k = 0,1 , 2 …  

Sendo assim, temos:

x = 3 2 π π 3 + 2 π k = 3 2 π π 3 1 + 6 k

x = 1 + 6 k 2 ,     k = 0,1 , 2 …

E temos também:

x = 3 2 π 5 π 3 + 2 π k = 3 2 π π 3 5 + 6 k

x = 5 + 6 k 2 ,     k = 0,1 , 2 …

Mas pera, não dá pra responder assim né? Até porque pra alguns valores de k , x não vai estar contido no intervalo do enunciado. Beleza, vamos testar alguns k . Para k = 0 :

x = 1 + 6 k 2 = 1 2

Para k = 1 :

x = 1 + 6 2 = 7 2 = 3,5

E a gente para aí, porque 7 2 = 3,5 > 3 e o x achado está fora do intervalo. Pro outro arco, fazendo k = 0 :

x = 5 + 6 k 2 = 5 2

Pra k = 1 :

x = 5 + 6 k 2 = 11 2

E de novo paramos por aí porque 11 2 = 5,5 > 3 . Fechamos a letra b então! Os únicos valores de x   ∈ 0,3 que satisfazem a equação f x = 1 2 são x = 1 2 e x = 5 2

Passo 3

Última parte da questão: cálculo de área! Vamos ter a região:

R = x , y ∈ I R 2 0 ≤ x ≤ 3 ,     1 2 ≤ y ≤ f x

Do gráfico da curva:

Vamos primeiro limitar em x , beleza? Só pode 0 ≤ x ≤ 3 . Logo:

Agora vamos limitar em y . Como y está entre um valor e a própria curva, vamos ter a região R :

Perceba que na letra b a gente já achou os pontos em que f x e y = 1 2 se interceptam! Bem, agora que sabemos a cara de R , precisamos calcular a área! E qual a melhor forma de fazer isso se não integrar?

Um porém, essa integral não pode ser direta, porque dá uma olhada em como ficaria se fizéssemos:

A = ∫ 1 2 5 2 f x   d x

Ta vendo que tem um retangulozinho ali em baixo que a integral acaba contando? Temos que descontar a ��rea desse retângulo em! Então, primeiro, calculando a área pela integral:

A 1 = ∫ 1 2 5 2 - 3 cos ⁡ 2 π 3 x + 2   d x = - 9 2 π sin ⁡ 2 π 3 x + 2 x x = 1 2 x = 5 2

A 1 = - 9 2 π sin ⁡ 5 π 3 + 5 - - 9 2 π sin ⁡ π 3 + 1

A 1 = 9 2 π 3 2 + 5 - - 9 2 π 3 2 + 1

A 1 = 9 3 4 π + 9 3 4 π + 4

A 1 = 9 3 2 π + 4

Agora calculando a área do retângulo:

A 2 = 1 2 5 2 - 1 2 = 4 4 = 1

E calculando a área total:

A = A 1 - A 2

Temos:

A = 9 3 2 π + 3

Resposta

  1. A = - 3 B = 2 π 3 C = 2 f x = - 3 cos ⁡ 2 π 3 x + 2
  2. x = 1 2 x = 5 2
  3. A = 9 3 2 π + 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas