Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Origem do Exercício

Encontre a área da região sob a curva f x = x 2 - 5 x + 9 , no intervalo [ 1,4 ] . Interprete geometricamente o resultado.

Passo 1

A área da região sob a curva é simplesmente a integral da função no intervalo que foi dado! Ou seja, precisamos calcular isso aqui:

A = ∫ 1 4 f x d x

A = ∫ 1 4 x 2 - 5 x + 9 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos começar separando essa em outras três:

A = ∫ 1 4 x 2 - 5 x + 9 d x

A = ∫ 1 4 x 2 d x - 5 ∫ 1 4 x d x + 9 ∫ 1 4 d x

E todas essas integrais são de polinômios. De forma que a integral indefinida é:

A = x 3 3 - 5 x 2 2 + 9 x + C

E substituindo os limites de integração, achamos o seguinte:

A = 4 3 3 - 5 4 2 2 + 9 4 - 1 3 + 5 2 - 9

A = 64 3 - 40 + 36 - 1 3 + 5 2 - 9

A = 63 3 + 5 2 + 5 = 21 + 2,5 - 13 = 10,5

Passo 3

Como interpretação geométrica do problema, podemos esboçar a parábola dada pela função, e marcar a área que estamos integrando:

Resposta

A área da região sob a curva é 10,5   u . a .

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