Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

UNICAMP - (Cálculo 1) - P3 2020.1

Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das funções:

f x = e x + 2 x 2 - 3 x + 4

g x = e x - x 2 - 3 x + 16

Passo 1

Não sei vocês mas essas funções malucas me deram calafrios! Mas relaxa que vamos tirar de letra. Um bom primeiro passo é o seguinte: toda vez que a gente quer uma área delimitada entre curvas, a gente vai precisar usar o ponto de interseção entre elas. Não acredita? Então olha só esse exemplo com funções mais amigáveis:

Show, então um bom primeiro passo será fazer:

f x = g x

O que resulta em:

e x + 2 x 2 - 3 x + 4 = e x - x 2 - 3 x + 16

2 x 2 + 4 = - x 2 + 16

3 x 2 = 12

O mesmo que:

x 2 = 4

x = ± 2

Sabemos então o ponto em que as curvas se tocam, o que é importante porque na verdade esses serão os limites de integração!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok mas não acabamos ainda, temos que tomar muito cuidado com a posição relativa das funções. Afinal, no nosso exemplo amigável, g x estava por cima de f x o tempo todo, então a área seria algo do tipo:

A = ∫ g x - f x   d x

Mas será que esse é o nosso caso? Bem, se g x estiver por cima, teremos que:

g x > f x

e x - x 2 - 3 x + 16 > e x + 2 x 2 - 3 x + 4

O que é essencialmente o que já fizemos, só que com um sinal de > ao invés de = . Ficamos então com:

x 2 < 4

- 2 < x < 2

Opa, isso é exatamente nosso intervalo de integração! Então ta confirmado que g x está por cima de f x no intervalo de integração inteiro! A área é modelada por:

A = ∫ - 2 2 g x - f x   d x

A = ∫ - 2 2 e x - x 2 - 3 x + 16 - e x + 2 x 2 - 3 x + 4   d x

A = ∫ - 2 2 - x 2 + 16 - 2 x 2 - 4   d x

A = ∫ - 2 2 - 3 x 2 + 12   d x

Passo 3

Galera, agora é mão na massa, integrar, pegar o resultado, e partir pro abraço. Vamos ter como resultado:

A = ∫ - 2 2 - 3 x 2 + 12   d x

A = - 3 ∙ x 3 3 + 12 x x = - 2 x = 2 = - x 3 + 12 x x = - 2 x = 2

Aplicando os limites de integração, temos

A = - 8 + 24 - 8 - 24 = 16 - - 16

A = 32

Feshow!

Resposta

A = 32

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