Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

3) Considere a região plana R = x , y ∈ I R 2 0 ≤ x ≤ 1   ; 0 ≤ y ≤ arcsin ⁡ x

  1. Esboce a região R
  2. Escreva a área de R como uma integral na variável y
  3. Calcule a área da região R utilizando o método que preferir

Passo 1

Questão de esboço de gráfico? Errr, masomenos! Essa questão quer mais que a gente saiba calcular área entre curvas do que que a gente saiba esboçar com precisão esse gráfico. Então vamos prestar atenção em algumas coisas sobre R :

0 ≤ x ≤ 1

Opa, se isso ta valendo, então a função só pode existir ou no primeiro ou no quarto quadrante:

Ok, mas não tem gráfico ainda aí! Calma gafanhoto, vamos olhar pro outro pedaço da região R :

0 ≤ y ≤ arcsin ⁡ x

Oras! Se y está entre 0 e uma função, então na prática queremos algo no primeiro quadrante! Esquece o quarto! E como os limites de x foram dados, temos que:

arcsin ⁡ 0 = 0

arcsin ⁡ 1 = π 2

E logo o gráfico vai ficar:

Cara, ainda não tem gráfico aí! Mas olha só, sabemos que temos que ligar os pontos A e B! O jeito vai ser descobrir o como! Pra isso, vamos olhar a função:

arcsin ⁡ x

É uma inversa trigonométrica, certo? Então se olharmos pro círculo trigonométrico:

Veja bem, conforme aumentamos o arco (ou seja, θ ), partindo de 0 , aumentamos sempre sin ⁡ θ ! sin ⁡ θ só passa a diminuir se o arco passar de π 2 , o que a gente nem precisa se preocupar já que a curva está limitada exatamente para esse valor do arco. Oras, então arcsin ⁡ x é uma função estritamente crescente! E como pra valores muito pequenos de arco a gente tem senos muito próximos de 0, uma concavidade pra cima cai bem em! Vamos esboçar então:

E a região R vai ser:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora bora tentar achar a área desse cara. Pra isso, vamos lembrar que a questão pede em y ! Se:

y = arcsin ⁡ x

Então:

x = sin ⁡ y

E se os valores de x eram limitados por:

0 ≤ x ≤ 1

Oras, então os valores de y que limitam sin ⁡ y são os valores que dão esses senos, logo:

0 ≤ y ≤ π 2

Mas calma lá, a integral não vai ser bem exatamente:

A = ∫ 0 π 2 sin ⁡ y   d y

Que talvez seja intuitivo pra gente responder. Temos que ter cuidado, porque quando invertemos uma função, o que estamos fazendo é na verdade girar ela 90º no sentido anti-horário e depois espelhando com a vertical:

A primeira curva é nosso y = f x e a terceira, x = g y . Ou seja, nossa curva esboçada vai ser:

Só que a região R nessa figura aí, vai ser:

E veja bem, isso não é lá a integral que a gente ia por em! A integral que íamos por era na verdade essa área:

O que fazer agora? Olha só a sagacidade, se fizermos a integral:

A = ∫ 0 π 2 1   d y

Vamos ter, na verdade, a seguinte área:

Opa, então pra achar a cinza basta pra gente então subtrair da roxa a bege, vamos ter então::

C i n z a = R o x a - B e g e

A = ∫ 0 π 2 1 - sin ⁡ y   d y

Passo 3

Pra fechar a questão e partir pro abraço, basta a gente resolver o cálculo da integral em! Então bora lá:

A = ∫ 0 π 2 1 - sin ⁡ y   d y

A = y + cos ⁡ y y = 0 y = π 2

A = π 2 + cos ⁡ π 2 - 0 + cos ⁡ 0

A = π 2 - 1

Resposta

  1. A = ∫ 0 π 2 1 - sin ⁡ y   d y
  2. A = π 2 - 1

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