2.5. Calcule o valor da menor área limitada entre as curvas y = s i n x e y = c o s x com x ∈ 0 , π 2 .

Passo 1

Suave na nave?! Tá complicada essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos obter a menor área possível entre as curvas y = s i n x e y = c o s x com x pertencente ao intervalo 0 , π 2 .

E aí, como fazemos isso? 😐

Para obter essa área, podemos calcular a integral dessa região através de uma integral dupla.

Primeiramente, podemos esboçar a região que vamos obter e aplicar as variáveis nos limites de integração.

Para calcular a área, a função de integração deve ser 1 .

∬ S 1 d S

Bora ver como é na prática? 😉

Passo 2

Podemos imaginar que a menor área que é formada entre y = s i n x e y = c o s x é dada no intervalo de x entre x = 0 e o primeiro ponto em que as curvas se encontram.

Como sabemos, as funções s i n x e c o s x são funções periódicas, então elas se cruzam infinitas vezes, porém em períodos definidos.

Para obter qual é esse valor de x , temos

s i n x = cos ⁡ x → s e n x cos ⁡ x = 1

Como s e n x cos ⁡ x =   t g x ...

t g x = 1

Qual o ângulo cuja tangente é 1 ? π / 4 , não é? Veja só

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Perceba que a região é limitada superiormente por y = cos ⁡ x e inferiormente por y = s e n x , já x varia de 0 a π 4 .

Montando nossa integral, temos

A = ∫ 0 π 4 ∫ s e n x cos ⁡ x 1 d y d x

Integrando com relação a y

∫ 1 d y = y

∫ s e n x cos ⁡ x 1 d y = cos ⁡ x - s e n x

Integrando o resultado em função de x pelo teorema fundamental do cálculo...

∫ cos ⁡ x - s e n x d x = s e n x + cos ⁡ x

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x - s e n x d x = s e n π 4 + cos ⁡ π 4 - s e n 0 + cos ⁡ 0

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x - s e n x d x = 2 2 + 2 2 - 0 - 1

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x - s e n x d x = 2 - 1

A = 2 - 1

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

A = 2 - 1

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