Considere a região R delimitada pelas curvas y = x 3 e y = 2 x - x 2

( a ) Esboce a região R .

( b ) Calcule a área da região R .

Passo 1

( a ) Para esboçar vamos primeiro reparar que um gráfico é x 3 , que vem de - ∞ para x < 0 e depois explode para + ∞ , e o outro é 2 x - x 2 = x ( 2 - x ) , que tem raízes em 0 e 2 e tem concavidade para baixo, já que o termo que multiplica o x 2 é negativo. Vamos analisar a interseção dos gráficos:

x 3 = 2 x - x 2

x 3 + x 2 - 2 x = 0

x x 2 + x - 2 = 0

x x + 2 x - 1 = 0

x = - 2 ; x = 0 ; x = 1

Conluímos, assim, que a região R será dividida em dois pedaços, um de - 2 a 0 e outro de 0 até 1 . Vamos ao esboço:

A região R está pintada de verde.

Passo 2

( b ) Para calcular a área devemos montar uma integral com a diferença entre a função mais alta para a mais baixa. No intervalo [ - 2,0 ] a maior é a vermelha ( x 3 ) , em [ 0,1 ] a mais alta é a azul ( 2 x - x 2 ) :

A = ∫ - 2 0 x 3 - 2 x - x 2 d x + ∫ 0 1 2 x - x 2 - x 3 d x

= x 4 4 - x 2 + x 3 3 - 2 0 + x 2 - x 3 3 - x 4 4 0 1

0 4 - 0 + 0 3 - 16 4 - 4 + - 8 3 + 1 - 1 3 - 1 4 + 0 - 0 3 - 0 4

= 8 3 + 5 12

= 32 + 5 12

= 37 12

Resposta

a

b   A = 37 12   u n i d a d e s   d e   á r e a

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