Calcule a área da região entre os gráficos das funções f x = 1 1 + x 2 e g x = 1 - x 2 5 e as retas x = 0 e x = 3 .

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essas duas funções f x = 1 1 + x 2 e g x = 1 - x 2 5 e pediu para calcularmos a área da região compreendidas entre elas e as retas x = 0 e x = 3 .

Mas como resolver isso?

Precisamos fazer um esboço da região que pretendemos achar! Assim vamos verificar quais são os limites de integração e qual função está mais acima e mais abaixo, então saca só como fica nossa região:

A região hachurada é a que queremos calcular! Podemos verificar que temos duas regiões: quando a função azul está por cima entre x = 0 e x = 2 , e uma outra região que a função verde está por cima entre x = 2 e x = 3 . Sendo assim nossa região vai ser calculada por duas integrais!

Beleza?

Nossa missão é montar as integrais, acertar os limites de integração e partiu integrar!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar montando nossas integrais: uma de x = 0   a t ��   2 e outra x = 2   a t é   3 :

A = ∫ 0 2 g x - f x d x + ∫ 2 3 f x - g x d x

Beleza?

Agora vamos substituir as funções!

A = ∫ 0 2 1 - x 2 5 - 1 1 + x 2 d x + ∫ 2 3 1 1 + x 2 - 1 + x 2 5 d x

Agora é só integrar!

Passo 3

Integrando temos

A = ∫ 0 2 1 - x 2 5 - 1 1 + x 2 d x + ∫ 2 3 1 1 + x 2 - 1 + x 2 5 d x

= x - x 3 15 - arctan ⁡ x 0 2 + arctan ⁡ x - x + x 3 15 2 3

E por fim vamos aplicar nos limites!

2 - 8 15 - arctan ⁡ 2 + arctan ⁡ 3 - 3 + 27 15 - arctan ⁡ 2 + 2 - 8 15

E simplificando temos

A = 4 - 3 - 16 15 + 27 15 + arctan ⁡ 3 - 2 arctan ⁡ 2

A = 26 15 + arctan ⁡ 3 - 2 arctan ⁡ 2

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

26 15 + arctan ⁡ 3 - 2 arctan ⁡ 2

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