Considere f : R → R ,   dada por f x = e x 3 , e a reta tangente a seu gráfico no ponto de abscissa 4. Se x 0 é interceptado desta reta com o eixo O x , então a área hachurada na figura (fora de escala) abaixo é:

Passo 1

Primeiro passo pra gente aqui vai ser descobrir qual a equação dessa reta tange aí, afinal, com isso, a gente descobre o x 0 , percebe?

Bora lá então

Primeiro passo é encontar um ponto P ( x o ,   y o ) na nossa função

Segundo encontramos o f ' x 0

E por último escrevemos nossa equação na forma y - y 0 = f ' x 0 x - x 0 .

Lesgô então

Passo 2

Encontrando um ponto conhecido na nodda f x = e x 3 . Pelo esboço, somos induzidos a usar o 4, certo? Bora lá então

f 4 = e 4 3

4 ,   e 4 3

Perfeito, nosso segundo passo agora é encontrar f ' x 0

f ' x = e x 3 3

f ' 4 = e 4 3 3

Por último então montamos y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

y - e 4 3 = e 4 3 3 x - 4

Passo 3

Bom, isso aí em cima é nossa equação da reta já! Não precisa sair mexendo em nada pra arrumar!! Quanto menos trabalho melhor hahaha

Observa que o ponto que estamos procurando é o x 0 , que está contido na reta tangente, e passa pelo y = 0 .

Então vamos só substituiro o y = 0 na equação da nossa reta tangente.

0 - e 4 3 = e 4 3 3 x - 4

- e 4 3 = e 4 3 3 x - 4

- 1 = 1 3 x - 4

- 1 = x 3 - 4 3

4 3 - 3 3 = x 3

x = 1

Passo 4

Agora vamos precisar encontrar a área abaixo da função entre os pontos 1 e 4. E isso é o que? Parabéns se você respondeu a integral definida entre 1 e 4, haha.

∫ 1 4 e x 3 d x = 3 e x 3 | 4 1

3 e 4 3 - e 1 3 = 3 e 1 3 e - 1

Resposta

3 e 1 3 e - 1

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