Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Área entre Curvas

Seja R a região limitada entre y = x - x 2 e o eixo x . Encontre a equação da reta que passa pela origem e que divide R em duas subregiões com áreas iguais.

Passo 1

Ora, ora. Problema interessante...

Foi nos dada uma função parabólica (do 2º grau e com concavidade para baixo). Essa curva e o eixo x delimitam uma região R de área A .

Queremos achar a equação de uma reta ( m x + q ) que passa pela origem ( q = 0 ), e que divide R em duas áreas iguais ( A / 2 ).

No fundo, queremos calcular m .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos esboçar o que o enunciado nos diz:

No desenho, foi desenhado uma reta genérica que corta y = x - x 2 .

OBS: Em problemas onde ainda não sabemos a equação de alguma curva, é muito útil esboçarmos uma situação genérica para essa curva e começar a fazer os cálculos a partir daí.

Igualando as equações, podemos achar os pontos de interseção:

x - x 2 = m x → x 1 - m - x = 0 → x = 0   ou   x = 1 - m

Logo, b = 1 - m .

Temos duas formas de prosseguir agora:

1. Dizendo que a área acima da reta é metade da área compreendida entre a parábola e o eixo x .

2. Dizendo que a área acima da reta é igual a área abaixo dela.

Vamos seguir a forma 1, já que a área abaixo da reta é mais difícil de ser calculada (ou teríamos que integrar em relação a y ou dividir em duas áreas).

Para isso é válido saber que a parábola intercepta x em 0 e 1 .

Passo 3

Igualando a área acima da reta à metade da área abaixo da parábola, temos:

∫ 0 1 - m [ ( x - x 2 ) - m x ]   d x = 1 2 ∫ 0 1 x - x 2   d x

1 2 x 2 - 1 3 x 3 - 1 2 m x 2 0 1 - m = 1 2 ⋅ 1 2 x 2 - 1 2 ⋅ 1 3 x 3 0 1

1 2 1 - m 2 - 1 3 1 - m 3 - 1 2 m 1 - m 2 - 0 = 1 4 - 1 6 - 0

Assim, chegamos a uma equação para m :

6 1 - m 2 - 4 1 - m 3 - 6 m 1 - m 2 = 1

1 - m 2 6 - 4 1 - m - 6 m = 1

1 - m 2 2 - 2 m = 1

1 - m 3 = 1 2

1 - m = 1 2 3

m = 1 - 1 2 3

Logo, a equação da reta é: y = 1 - 1 2 3 x

Resposta

y = 1 - 1 2 3 x

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