Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Q04) Seja R a região compreendida entre os gráficos das funções f x = x 2 3 - 1 , g x = - x 2 + 3 e h x = 3 x - 7 . Faça o que se pede abaixo:

  1. Esboce a região R , explicitando quais são os pontos de interseção entre as curvas.
  2. Escreva (mas não calcule!) integrais que representem a área de R .

Passo 1

Essa questão parece complicada mas a gente consegue tirar de letra. Fica tranquilo porque se olharmos bem, f x e g x são só parábolas e h x é uma reta. Ou seja, são funções mais fáceis de esboçar, vamos só precisar prestar atenção nos pontos de interseção! Vamos ter pra f x = g x :

x 2 3 - 1 = - x 2 + 3

x 2 - 3 = - 3 x 2 + 9

x 2 + 3 x 2 = 9 + 3

4 x 2 = 12

x 2 = 3

x = ± 3

Pra achar as coordenadas y desses valores de x podemos escolher tanto f quanto g . Acho que o g é mais rápido então:

g 3 = 3 2 + 3 = - 3 + 3 = 0

g - 3 = - 3 2 + 3 = - 3 + 3 = 0

Marcamos então os pontos

3 , 0

- 3 , 0

Como f é uma parábola com concavidade pra cima já que temos um número positivo multiplicando x 2 e g uma parábola com concavidade pra baixo já que temos um número negativo multiplicando x 2 , podemos esboçar já elas duas. Mas antes, vamos ver as interseções com o eixo y também:

f 0 = 0 2 3 - 1 = - 1 → 0 , - 1

g 0 = - 0 2 + 3 = 3 → 0,3

Marcando os 4 pontos encontrados e esboçando os gráficos temos:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, mas ta faltando algo né? A reta h x ! Vamos ver então quando ela toca nos eixos primeiro:

h 0 = 3.0 - 7 = - 7 → 0 , - 7

h x = 0 = 3 x - 7 → x = 7 3 → 7 3 , 0

Agora, vamos ver quando ela toca com f x :

f x = h x

x 2 3 - 1 = 3 x - 7

x 2 - 3 = 9 x - 21

x 2 - 9 x - 3 + 21 = 0

x 2 - 9 x + 18 = 0

Olha lá, um polinômio de segundo grau! Usando então a fórmula de Bháskara pra achar as raízes desse polinômio, seja:

x 2 - 9 x + 18 = a x 2 + b x + c

Onde:

a = 1 b = - 9 c = 18

Segundo a fórmula de Bháskara:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Vamos ter as seguintes raízes:

x 1,2 = - - 9 ± - 9 2 - 4 1 18 2 1

x 1,2 = 9 ± 81 - 72 2 = 9 ± 9 2 = 9 ± 3 2

Logo:

x 1 = 9 + 3 2 = 12 2 = 6 x 2 = 9 - 3 2 = 6 2 = 3

Pra achar as coordenadas y desses valores de x podemos escolher tanto f quanto h . Acho que o h é mais rápido então:

h 6 = 3.6 - 7 = 11 → 6,11

h 3 = 3.3 - 7 = 2 → 3,2

E agora pra fechar os pontos de interseção todos, vamos igualar a reta com g x . Sendo assim:

g x = h x

- x 2 + 3 = 3 x - 7

- x 2 - 3 x + 3 + 7 = 0

- x 2 - 3 x + 10 = 0

Eita, outro polinômio de segundo grau! Usando novamente a fórmula de Bháskara pra achar as raízes desse polinômio, onde:

a = - 1 b = - 3 c = 10

Segundo a fórmula de Bháskara, teremos as seguintes raízes

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x 1,2 = - - 3 ± - 3 2 - 4 - 1 10 2 - 1

x 1,2 = 3 ± 9 + 40 - 2 = 3 ± 49 - 2 = 3 ± 7 - 2

Logo:

x 1 = 3 + 7 - 2 = 10 - 2 = - 5 x 2 = 3 - 7 - 2 = - 4 - 2 = 2

Pra achar as coordenadas y desses valores de x podemos escolher tanto g quanto h . Acho que o h é mais rápido então:

h - 5 = 3 . - 5 - 7 = - 22 → - 5 , - 22

h 2 = 3 . 2 - 7 = - 1 → 2 , - 1

Pronto, pegamos todos os pontos, agora bora marcar eles:

E traçando a reta:

Passo 3

Agora que fechamos o esboço, vamos analisar direito os pontos todos pra ajudar a gente a entender as regiões:

Pra começar, da pra ver que o G está lá em cima junto com H fecha uma região delimitada por h e f . Como não é isso que queremos, os dados desse ponto não vão ajudar a gente a entender a região, então vamos esquecer G e dar um zoom na imagem nos outros pontos:

Essa questão na verdade tem dupla interpretação, pois você pode definir 2 regiões diferentes que são delimitadas pelas três funções ao mesmo tempo ou mesmo entender as duas regiões como uma só, da uma olhada:

Então a letra a já está respondida em! Vamos ter:

Passo 4

Agora o bicho pega. Vamos ter que pensar em fórmulas pra área de R 1 e R 2 . Vamos começar por R 1 . Pra fazer ela, vamos dividir em 2 pedaços, o pedaço R11 e R12:

O pedaço R11 pode ser entendido como o pedaço R 11 A subtraído dos pedaços R 11 B   e R 11 C :

Só que R 11 A ,   R 11 B   e   R 11 C são áreas diretas de calcular, só precisam de uma integral e em cada uma vai dentro uma das três funções diferentes f , g , h ! Vamos ter:

R 11 A =   - ∫ - 5 0 3 x - 7   d x

R 11 B =   - ∫ - 5 - 3 - x 2 + 3   d x

R 11 C = - ∫ - 3 0 x 2 3 - 1   d x

Os sinais de negativo em cada pedaço estão aí pra compensar o resultado negativo do cálculo direto da integral. Os limites de integração vem das coordenadas dos pontos I , A e da origem. Vamos ter então:

R 11 = R 11 A - R 11 B - R 11 C

R 11 = - ∫ - 5 0 3 x - 7   d x - - ∫ - 5 - 3 - x 2 + 3   d x - - ∫ - 3 0 x 2 3 - 1   d x

R 11 = - ∫ - 5 0 3 x - 7   d x + ∫ - 5 - 3 - x 2 + 3   d x + ∫ - 3 0 x 2 3 - 1   d x

O pedaço R12 pode ser entendido como o pedaço R 12 A subtraído dos pedaços R 12 B   e R 12 C :

De novo, R 12 A ,   R 12 B   e   R 12 C são áreas diretas de calcular que só precisam de uma integral e uma função dentro dela! Vamos ter:

R 11 A =   - ∫ 0 2 3 x - 7   d x

R 11 B =   - ∫ 0 3 x 2 3 - 1   d x

R 11 C = - ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x

Os sinais de negativo em cada pedaço estão aí pra compensar o resultado negativo do calculo direto da integral. Os limites de integração vem das coordenadas dos pontos B , J e da origem. Vamos ter então:

R 12 = R 12 A - R 12 B - R 12 C

R 12 = - ∫ 0 2 3 x - 7   d x - - ∫ 0 3 x 2 3 - 1   d x - - ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x

R 12 = - ∫ 0 2 3 x - 7   d x + ∫ 0 3 x 2 3 - 1   d x + ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x

Juntando R11 e R12 pra dar a área de R1 temos:

R 1 = R 11 + R 12

R 1 = - ∫ - 5 0 3 x - 7   d x + ∫ - 5 - 3 - x 2 + 3   d x + ∫ - 3 0 x 2 3 - 1   d x - ∫ 0 2 3 x - 7   d x + ∫ 0 3 x 2 3 - 1   d x + ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x

R 1 = - ∫ - 5 0 3 x - 7   d x + ∫ 0 2 3 x - 7   d x + ∫ - 5 - 3 - x 2 + 3   d x + ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x + ∫ - 3 0 x 2 3 - 1   d x + ∫ 0 3 x 2 3 - 1   d x

Por fim

R 1 = - ∫ - 5 2 3 x - 7   d x + ∫ - 5 - 3 - x 2 + 3   d x + ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x + ∫ - 3 3 x 2 3 - 1   d x

Passo 5

Falta agora a gente ver a área de R2. Brincando de LEGO de novo e juntando cada pedacinho da área, podemos entender R2 como:

Sendo assim:

R 2 = R 2 A - R 2 B + R 2 C + R 2 D

Onde cada pedaço são áreas diretas de calcular que só precisam de uma integral e uma função dentro dela! Vamos ter:

R 2 A =   ∫ 3 3 x 2 3 - 1   d x

R 2 B =   ∫ 7 3 3 3 x - 7   d x

R 2 C = - ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x

R 2 D = - ∫ 2 7 3 3 x - 7   d x

Os sinais de negativo em alguns pedaços novamente estão aí pra compensar o resultado negativo do calculo direto da integral. Os limites de integração vem das coordenadas dos pontos B ,   H ,   F   e   J . Vamos ter então:

R 2 = R 2 A - R 2 B + R 2 C + R 2 D

R 2 = ∫ 3 3 x 2 3 - 1   d x - ∫ 7 3 3 3 x - 7   d x - ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x - ∫ 2 7 3 3 x - 7   d x

R 2 = ∫ 3 3 x 2 3 - 1   d x - ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x - ∫ 2 7 3 3 x - 7   d x + ∫ 7 3 3 3 x - 7   d x

R 2 = ∫ 3 3 x 2 3 - 1   d x - ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x - ∫ 2 3 3 x - 7   d x

Resposta

  1. R 1 = - ∫ - 5 2 3 x - 7   d x + ∫ - 5 - 3 - x 2 + 3   d x + ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x + ∫ - 3 3 x 2 3 - 1   d x R 2 = ∫ 3 3 x 2 3 - 1   d x - ∫ 3 2 - x 2 + 3   d x - ∫ 2 3 3 x - 7   d x R = R 1 + R 2

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