Calcule a integral

L = ∫ γ 2 x e x y + x 2 y e x y d x + x 2 + x 3 e x y d y

onde γ é o pedaço dada curva dada pela equação y = 4 - x 2 , com x ≥ 0 , y ≥ 0 , orientada no sentido anti-horário. Justifique.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

A questão foi bem direta com a gente, apenas nos deu uma integral enorme e a região de integração γ .

A integral que foi dada é descrita por L , onde

L = ∫ γ 2 x e x y + x 2 y e x y d x + x 2 + x 3 e x y d y

E γ e a região limitada pelas equações y = 4 - x 2 quando x ≥ 0 e y ≥ 0 .

E aí? Tem ideia do que fazer? 👀

Temos uma pista muito forte na construção da integral. Perceba que temos duas funções do tipo P x , y d x + Q x , y d y dentro da integral.

Esse é um indicio muito forte de que temos que usar o nosso querido Teorema de Green!

Mas pra usar esse teorema, temos que verificar se nossa região de integração é fechada.

Esboçando acurva y = 4 - x 2 e hachurando os intervalos onde x ≥ 0 e y ≥ 0 , vamos obter.

Com isso, podemos ver que nossa região é sim fechada! Então sinal verde pra aplicar o teorema! 😍

Preparado pra isso? Bora lá!

Passo 2

O Teorema de Green é dado seguindo a seguinte relação

∫ C P x , y d x + Q x , y d y = ∫ ∫ A ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Nossas funções P x , y e Q x , y são enormes e dariam um grande trabalho integra-las.

Mas veja só com a aplicação do teorema!

Temos que calcular ∂ Q ∂ x e ∂ P ∂ y primeiramente.

Como P x , y = 2 x e x y + x 2 y e x y e Q x , y = x 2 + x 3 e x y , derivando Q com relação a x , temos

∂ Q ∂ x = ∂ x 2 + x 3 e x y ∂ x

Podemos dividir essa derivada em duas, veja só

∂ Q ∂ x = ∂ x 2 ∂ x + ∂ x 3 e x y ∂ x

Na primeira derivada, vamos usar o método de derivação polinomial.

Já na segunda derivada, vamos usar um misto entre a regra do produto e a regra da cadeia. Isso porque x 3 e x y é um produto de funções e em um momento da regra do produto, vamos ter que calcular a derivada de e x y e essa função é calculada pela regra do produto.

Veja só!

∂ x 2 ∂ x = 2 x 2 - 1 = 2 x

∂ x 3 e x y ∂ x = ∂ x 3 ∂ x · e x y + x 3 · ∂ e x y ∂ x

A regra da cadeia é dada pela derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, onde substituímos x y por u

∂ x 3 e x y ∂ x = 3 x 3 - 1 · e x y + x 3 · ∂ x y ∂ x ∂ e u ∂ u

∂ x 3 e x y ∂ x = 3 x 2 · e x y + x 3 · y · e u

Voltando u a x y

∂ x 3 e x y ∂ x = 3 x 2 e x y + x 3 y e x y

Logo, a derivada de Q com relação a x é

∂ Q ∂ x = 2 x + 3 x 2 e x y + x 3 y e x y

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de P com relação a y

∂ P ∂ y = ∂ 2 x e x y + x 2 y e x y ∂ y

Da mesma forma podemos dividir as derivadas

∂ P ∂ y = ∂ 2 x e x y ∂ y + ∂ x 2 y e x y ∂ y

Na primeira derivada, vamos aplicar a regra da cadeia apenas e na segunda derivada vamos aplicar o mesmo misto entre a regra do produto e a regra da cadeia. Fazendo a mesma substituição x y por u

∂ 2 x e x y ∂ y = 2 x ∂ x y ∂ y · ∂ e u ∂ u

∂ 2 x e x y ∂ y = 2 x · x · e u

Simplificando e substituindo u por x y de volta

∂ 2 x e x y ∂ y = 2 x 2 e x y

Agora na segunda derivada

∂ x 2 y e x y ∂ y = x 2 ∂ y ∂ y · e x y + y · ∂ e x y ∂ y

Da outra derivada, já vimos que ∂ e x y ∂ y = x e x y , então

∂ x 2 y e x y ∂ y = x 2 1 · e x y + y · x e x y

Simplificando o resultado

∂ x 2 y e x y ∂ y = x 2 e x y + x 3 y e x y

Com isso a derivada de P com relação a y é

∂ P ∂ y = 2 x 2 e x y + x 2 e x y + x 3 y e x y

∂ P ∂ y = 3 x 2 e x y + x 3 y e x y

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Voltando para a integral

∫ ∫ A ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Subtraindo os resultados de ∂ Q ∂ x e ∂ P ∂ y , temos

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 2 x + 3 x 2 e x y + x 3 y e x y - 3 x 2 e x y + x 3 y e x y

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 2 x

Viu só? Da um pouquinho de trabalho para aplicar as derivadas, mas veja como nossa função de integração ficou bem mais simples.

Com isso, temos

∫ ∫ A 2 x d A

Só nos resta descrever a região de integração como os limites de integração d A . Voltando para a figura que descreve nossa região

Podemos descrever nossa região pelo tipo 1 com x variando entre um intervalo numérico e y entre um intervalo de duas funções.

Analisando a figura, vemos que x varia entre 2 e 0 . Já y varia entre 4 - x 2 e 0 , logo nosso intervalo de integração será

0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 4 - x 2

Na integral vai ficar assim

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 2 x d y d x

Grande diferença, não é?

Passo 5

Calculando a integral de 2 x com relação a y vemos que estamos integrando algo que se comporta como uma constante, então a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração.

∫ 2 x d y = 2 x y

Aplicando os limites de integração

∫ 0 4 - x 2 2 x d y = 2 x 4 - x 2 - 2 x 0 = 8 x - 2 x 3

Agora com base nesse resultado integramos com relação a x pelo método de derivação polinomial.

∫ 8 x - 2 x 3 d x = 8 x 1 + 1 1 + 1 - 2 x 3 + 1 3 + 1 = 4 x 2 - x 4 2

Aplicando os limites de integração, vamos ter

∫ 0 2 8 x - 2 x 3 d x = 4 2 2 - 2 4 2 - 4 0 2 - 0 4 2 = 8

Logo a integral que tínhamos lá no início

L = ∫ γ 2 x e x y + x 2 y e x y d x + x 2 + x 3 e x y d y = 8

Fala a verdade! Esse teorema é uma maravilha, não é? 😍

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

L = 8

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