Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Área entre Curvas

Os gráficos de

f x = - x 2 + 10         e         g x = 9 x 2

Se interceptam quatro vezes, limitando duas regiões. Encontre a área dessas regiões.

Passo 1

Vou começar ignorando o esboço delas e a disposição dessas regiões aí. Vou começar igualando esses cara para que a gente veja onde se interceptam.

f x = g x

- x 2 + 10 = 9 x 2

x 4 - 10 x 2 + 9 = 0

y = x 2 → y 2 - 10 y + 9 = 0

Vamos por Bhaskara:

y = 10 ± - 10 2 - 4 1 9 2 1

= 10 ± 100 - 36 2 = 10 ± 64 2

= 10 ± 8 2 = 5 ± 4

y = 9   ; y = 1

Assim, os valores de x serão:

x 2 = 9 → x = 3   ; x = - 3

x 2 = 1 → x = 1   ; x = - 1

Achamos os nossos interceptos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pensando em como desenhar, temos uma parábola no f x e um gráfico hiperbólico no g x . A gente repara inclusive que ambos gráficos são espelhados em relação ao eixo y , é a chamada função par, em que f x = f - x para todo x . Vamos então esboçar esse negócio levando em conta os pontos que achamos em que eles se interceptam:

Como dá para ver, A região limitada entre os dois gráficos é dada pelos dois R ’s ali. Agora, bem como os gráficos, as regiões serão simétricas em relação ao eixo y . Então a área total pode ser calculada como duas vezes uma das áreas:

A = ∫ a b f x - g x d x = 2 ∫ 1 3 - x 2 + 10 - 9 x 2 d x

= 2 - x 3 3 + 10 x + 9 x [ 3 1

= 2 - 27 3 + 10 3 + 9 3 - 2 - 1 3 + 10 1 + 9 1

= 2 - 9 + 30 + 3 - 2 - 1 3 + 10 + 9 = 2 24 - 56 3

= 32 3

Resposta

A = 32 3   u . a .

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