5) Seja R a região localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano, cujos pontos estão localizados acima da reta 3 y - x = 2 , abaixo da parábola y = x 2 e abaixo da hipérbole y = 8 x .

  1. Esboce R , indicando os pontos de interseção das curvas
  2. Calcule a área de R

Passo 1

Vambora então. Como a questão pede pra gente marcar no esboço os pontos de interseção que definem R , vamos começar por eles. Vamos de 2 em 2 então, mas antes, vamos ajeitar a equação da curva:

3 y - x = 2

3 y = 2 + x

y = x + 2 3

Vamos ter então três curvas pra levar em consideração, sendo elas:

y = x 2   1

y = x + 2 3   2

y = 8 x 3

Igualando 1 e 2 , temos:

x 2 = x + 2 3

3 x 2 - x - 2 = 0

Fazendo Bháskara, temos que:

3 x 2 - x - 2 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Resolvendo, temos:

x 1,2 = 1 ± 1 + 24 6 = 1 ± 25 6 = 1 ± 5 6

x 1 = 1 + 5 6 = 1  

x 2 = 1 - 5 6 = - 2 3

E logo:

3 x - 1 x + 2 3 = 0

x 1,2 = 1   e   - 2 3  

Como estamos falando de pontos do primeiro quadrante, vamos esquecer do x negativo, ok? Usando x = 1 em 1 , encontramos já o primeiro ponto:

1,1

Agora vamos igualar 1 e 3 . Vamos ter:

x 2 = 8 x

x 3 = 8

x = 2

Mais rápido de achar esse ponto em! Usando x = 2 em 1 , encontramos o segundo ponto de interseção!

2,4

E agora, pra última combinação, igualamos 2 e 3 e ficamos com:

x + 2 3 = 8 x

x 2 + 2 x = 24

x 2 + 2 x - 24 = 0

Mesma ideia. Usando Bháskara, chegamos à:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x 1,2 = - 2 ± 2 2 - 4.1 . - 24 2.1 = - 2 ± 4 + 96 2

x 1,2 = - 2 ± 100 2 = - 2 ± 10 2

Ignorando de novo o valor negativo, vamos pegar só a raíz positiva, beleza? Vamos ter então:

x 1 = - 2 + 10 2 = 8 2 = 4

E usando x = 4 em 3 , pegamos nosso terceiro e último ponto, que será:

4,2

Passo 2

Achamos os três pontos em que as curvas vão se encontrar. São eles:

1,1

2,4

4,2

Como 1 é uma parábola, logo, graficamente, é algo parecido com um copo de boca pra cima, 2 é uma reta e 3 uma hipérbole, algo, graficamente, semelhante a uma rampa de skate, podemos esboçar as 3 curvas da seguinte forma:

E marcando os pontos de interseção e hachurando a região R , vamos ter:

Então é só calcular a área bege para fechar a letra b e partir pro abraço. Pra fazer isso, veja bem: traçando retas x = 1 , x = 2 e x = 4 , podemos entender a área bege como a soma das áreas cinza e salmão:

Vamos calcular em passos diferentes então a área cinza e a área salmão

Passo 3

Vamos começar pela área cinza. Pra calcular essa área, vamos também entender ela como uma operação de áreas. Saca só, podemos entender a área cinza como a área azul menos a área amarela:

E as áreas azul e amarela sabemos calcular! Afinal, são áreas abaixo de curvas. Como a área azul é a área abaixo da curva y = x 2 entre x = 1 e x = 2 , vamos ter:

A z u l = ∫ 1 2 x 2 d x = x 3 3 | x = 1 x = 2 = 2 3 3 - 1 3 3 = 8 3 - 1 3 = 7 3

E como a área amarela é a área da reta y = x + 2 3 no mesmo intervalo de x , vamos ter:

A m a r e l o = ∫ 1 2 x + 2 3 d x = x 2 2 + 2 x 3 | x = 1 x = 2 = 4 2 + 4 3 - 1 2 + 2 3 = 3,5 3 = 7 6

A área da região cinza vai ser então

C i n z a = A z u l - A m a r e l o

C i n z a = 7 3 - 7 6 = 7 6

Passo 4

Agora pra área salmão, vamos dividir do mesmo jeito do passo anterior, só, claro, escolhendo cores diferentes. Podemos enxergar a área salmão como a área verde menos a área rosa:

E a área dessas novas duas cores também sabemos calcular em! São integrais abaixo das suas respectivas curvas, mudando agora o intervalo de x para 2 ≤ x ≤ 4 . Sendo assim, pra área verde, como estamos falando da curva y = 8 x , vamos ter:

V e r d e = ∫ 2 4 8 x d x = 8 l n   x   | x = 2 x = 4 = 8 l n   4   - 8 l n   2   = 8 l n   2    

E pra área rosa, voltamos à reta, agora mudando os limites de integração. Vamos ficar com:

R o s a = ∫ 2 4 x + 2 3 d x = x 2 2 + 2 x 3 | x = 2 x = 4 = 16 2 + 8 3 - 4 2 + 4 3 = 10 3  

A área salmão então vai ser:

S a l m ã o = V e r d e - R o s a

S a l m ã o = 8 l n   2   - 10 3

Passo 5

Agora bora fechar em! Como:

B e g e = C i n z a + S a l m ã o

E já sabemos tanto a área cinza quanto a salmão, é só somar:

B e g e = 7 6 + 8 l n   2   - 10 3

B e g e = 7 6 + 8 l n   2   - 20 6

B e g e = 8 l n   2   - 13 6

E logo:

A = 8 l n   2   - 13 6

Resposta

  1. A = 8 l n   2   - 13 6

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Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x ,     0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 ,     1 ≤ x ≤ 6