Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Área entre Curvas

Considere a região R delimitada pela parábola y = 2 x 2 + 1 , pela reta tangente a esta parábola em - 1,3 e pelas retas y = 0 e x = 0 .

a Esboce a região R , indicando claramente a região na sua figura.

( b ) Determine a equação da reta tangente à parábola em ( - 1,3 ) .

( c ) Encontre a área da região R .

Passo 1

( a )   É o seguinte, essa parábola não é muito difícil de fazer não, ela tem o vértice em ( 0,1 ) e boca para cima. Acontece que para desenhar a região nós precisamos da reta tangente ao ponto ( - 1,3 ) da parábola. Até dá para fazer uma aproximação sem a equação (além de que ele só pede a equação da reta na letra b ), mas prefiro calculá-la para a achar a região com precisão.

Sabemos que a reta tem coeficiente angular igual a f ' ( - 1 ) , com f ' x = 4 x e passa no ponto ( - 1,3 ) . Assim, modelando a reta por y = a x + b :

a = f ' - 1 = 4 - 1 = - 4

y = a x + b

3 = - 4 - 1 + b

b = - 1

Assim, achamos a reta y = - 4 x - 1 , reta decrescente que toca o eixo y em - 1 . Vamos fazer o desenho com a reta e a parábola limitado pelos eixos x e y :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b   Como já achamos, a reta é y = - 4 x - 1

Passo 3

( c ) Podemos observar que a reta toca o eixo y = 0 em

0 = - 4 x - 1 → x = - 1 4

Ou seja, de - 1 até - 1 4 teremos que fazer uma integral de área que é a diferença entre os gráficos da parábola e da reta. Já no intervalo - 1 4 , 0 devemos integrar da parábola até o eixo, ou seja, a própria integral da parábola. Logo, nossa área pode ser calculada por:

A R = ∫ - 1 - 1 / 4 ( 2 x 2 + 1 ) - ( - 4 x - 1 ) d x + ∫ - 1 / 4 0 ( 2 x 2 + 1 ) - 0 d x

= ∫ - 1 - 1 / 4 2 x 2 + 4 x + 2 d x + ∫ - 1 / 4 0 2 x 2 + 1 d x

= 2 x 3 3 + 2 x 2 + 2 x [ - 1 / 4 - 1 + 2 x 3 3 + x [ 0 - 1 / 4

= 2 - 1 4 3 3 + 2 - 1 4 2 + 2 - 1 4 - 2 - 1 3 3 + 2 - 1 2 + 2 - 1 + 0 - 2 - 1 4 3 3 + - 1 4

= - 1 96 + 1 8 - 1 2 - - 2 3 + 2 - 2 - - 1 96 - 1 4

A R = 13 24

Resposta

a   ( f i g u r a   a c i m a )

b   y = - 4 x - 1

c   A R = 13 24

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